🎯要点

1. 🎯数学逻辑和代码计算或可视化：🖊向下递归确定球面贝塞尔函数 | 🖊蒙特卡罗法模拟随机游走和放射性粒子衰减 | 🖊梯形规则积分算法 | 🖊高斯求积算法 | 🖊冯诺依曼拒绝（方法）生成加权随机分布 | 🖊牛顿-拉夫森搜索逐步搜索弦上两个质量矩阵问题解 | 🖊二分算法求解 | 🖊牛顿-拉夫森方法 | 🖊横截面的样条拟合 | 🖊最小二乘法拟合数据和抛物线 | 🖊四阶龙格库塔法常微分方程求解器 | 🖊亚当斯-巴什福斯-莫尔顿方法常微分方程求解器 | 🖊Numerov 算法求解束缚态能量的一维时间无关薛定谔方程 | 🖊龙格库塔算法求解束缚态能量的一维时间无关薛定谔方程 | 🖊求解空气阻力的抛射运动以及分析无摩擦情况 | 🖊离散傅里叶计算复数和实数 | 🖊快速傅里叶滤波和绘图 | 🖊莫莱小波计算连续小波变换 | 🖊金字塔算法计算离散小波变换。
2. 🎯连续非线性动态计算和可视化：🖊生成逻辑图的分叉图 | 🖊增长函数逻辑图分叉图的李亚普诺夫系数 | 🖊增长函数逻辑图香农熵 | 🖊计算物种竞争 Lotka-Volterra 模型。
3. 🎯分形和统计增长模型：🖊三维模拟蕨类植物的生长 | 🖊模拟矿物形成枝晶 | 🖊模拟二维元胞自动机 | 🖊相干噪声随机图转换为山形图像。
4. 🎯热力学和费曼路径积分：🖊一维伊辛链的大都会算法 | 🖊模拟二维伊辛模型，计算态密度并从中计算内能 | 🖊费曼路径积分确定基态概率，使用大都会算法模拟经典轨迹 | 🖊费曼路径积分计算量子粒子在引力场中的路径。
5. 🎯分子动力学：🖊维尔莱算法模拟二维分子动力。
6. 🎯有限差分静电学：🖊求解拉普拉斯方程电势。
7. 🎯时间步进热流：🖊有限差分求解热方程，绘制三维图 | 🖊克兰克-尼科尔森方法求一维时间热方程。
8. 🎯波动方程：🖊动画模拟弦时间波动 | 🖊数值解振动膜的波动 | 🖊量子包和电磁。

🍇Python振荡器角频率振幅条件计算

振荡器模型数学定义，给出坐标 $x$ 作为时间 $t$ 函数的方程：
$$x=A\cos (\omega t+\varphi )$$
我们想要详细了解当变量 $t$ 的值更改时会发生什么：

• 我们选择从初始时刻 $t=0$ 开始增加 $t$ 的值。
• 我们计算$x$​坐标的值。
• 我们在图表中显示了点状物体在不同时刻的位置。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

omega = 2*np.pi / 10   
A = 0.15       
phi = 0        

t = np.array([0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5, 5.7, 6.3, 7.1, 7.7, 8.2, 8.7])   # time (s)
x = A * np.cos(omega*t + phi)
y = np.zeros(len(t)) 

fig = plt.figure(1, (14, 3))
ax = fig.add_subplot(111)

plt.plot(x, y, 'o')
plt.axhline(color = 'gray')
plt.axvline(color = 'cyan')
plt.xlim(-0.2, 0.2)
ax.set_xlabel('x (m)', fontsize = 14)

for i, time in enumerate(t):
    #print(i, time)
    x_coord = A * np.cos(omega*time + phi)
    time = str(time)+' s'
    ax.annotate(time, xy = (x_coord, 0.01), xycoords = 'data', rotation = 90, fontsize = 11 )

在此图中，我们可以读取时间值，并在 $t$ 值不断增加时跟踪物体的位置。同时显示在许多不同时刻占据的位置，我们将获得轨迹图。

坐标 $x$ 值的图形给出了笛卡尔平面 $tOx$ 中位置与时间 $t$ 的函数关系，即 $x$ - $t$ 曲线。

T = 2 * np.pi / omega
t = np.linspace(0, 3*T, 101)
x = A * np.cos(omega* t)

plt.figure(2)
plt.plot(t, x, '-', color = 'blue', linewidth = 3)
plt.xlabel('time $t$ (s)', fontsize = 14)
plt.ylabel(' $x$ (m)', fontsize = 14)
plt.axhline(color = 'gray')
plt.axvline(color = 'gray')
plt.axvline(x = T)
plt.axvline(x = 2 * T)

print()
print ('period T = ', T, 's')
print()

period T =  10.0 s

我们选择两个不同的角频率值，并在同一图中同时显示两条相应的 $x-t$ 曲线：

omega = 0.628
T = 2*np.pi/omega
t = np.linspace(0, 2 * T, 101)
x = A * np.cos(omega*t)
omega1 = 1.2

x_star = A * np.cos(omega1*t)

plt.figure(3)
plt.plot(t, x, '-', color = 'blue', linewidth = 3)
plt.plot(t, x_star, '--', color = 'orange', linewidth = 3)
plt.xlabel('time $t$ (s)')
plt.ylabel(' $x$ (m)')
plt.axhline(color = 'gray')
plt.axvline(color = 'gray')

变量之间的关系：

角频率$\omega$，周期：$T=\frac{2\pi }{\omega }$，频率：$\begin{array}{c}f=\frac{1}{T}\\ \omega =2\pi f\end{array}$。

我们在同一图中比较了选择两个不同的幅度值而获得的 $x-t$ 曲线，同时保持固定的角频率（和初始相位）。

omega = 0.628
T = 2*np.pi/omega
t = np.linspace(0, 2 * T, 101)
x = A * np.cos(omega*t)
A1 = 0.10
x_star = A1 * np.cos(omega*t)

plt.figure(4)
plt.plot(t, x, '-', color = 'blue', linewidth = 3)
plt.plot(t, x_star, linestyle = 'dotted', color = 'green', linewidth = 3)
plt.axhline(color = 'gray')
plt.xlabel('time  $t$ (s)')
plt.ylabel(' $x$ (m)')

我们比较对应于初始相位的两个不同值的 $x-t$ 曲线，以指定幅度和角频率的值。

T = 2 * np.pi / omega
t = np.linspace(0, 2 * T, 101)
x = A * np.cos(omega*t)

phi = np.pi/2

x_star = A * np.cos(omega*t + phi)

#z = x + x_star

plt.figure(5)
plt.plot(t, x, '-', color = 'blue', linewidth = 3)
plt.plot(t,x_star, linestyle = 'dashdot', color = 'lime', linewidth = 3)
#plt.plot(t, z, '-', color = 'yellow', linewidth = 5)
plt.axhline(color = 'gray')
plt.xlabel('time  $t$ (s)')
plt.ylabel(' $x$ (m)')
plt.axvline(color = 'gray')
plt.axvline(x = T, color = 'cyan')

运动方程

根据瞬时速度 $v=dx/dt$ 的定义，可以得出：
$$v=\frac{d}{dt}[A\cos (\omega t+\varphi )]=-A\omega \sin (\omega t+\varphi )$$
因此，速度值也在最大值 $v_{\max }=+A\omega$ 和最小值 $v_{\min }=-A\omega$ 之间振荡，并且具有表征速度变化的相同周期。相对于时间协调 $x$。

参阅一：计算思维

参阅二：亚图跨际