第1讲：信号与系统概述

一、引言

信号与系统是现代工程和科学的核心基础课程之一。从通信系统到控制系统，从图像处理到语音识别，信号处理技术无处不在。而随着人工智能（AI）的快速发展，信号处理与AI的结合正在成为推动技术进步的关键力量。本节课将从基础概念入手，探讨信号与系统的基本定义、分类，并结合人工智能中的典型应用案例，帮助大家建立对这门课程的整体认知。

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二、信号的定义与分类

（一）信号的定义

信号是信息的载体，它通过某种形式（如电信号、声信号、光信号等）传递信息。在数学上，信号可以表示为一个或多个变量的函数。例如：

• 连续时间信号：用函数 $x(t)$ 表示，其中 $t$ 是连续的时间变量。
• 离散时间信号：用函数 $x[n]$ 表示，其中 $n$ 是离散的整数时间点。

公式示例：
连续时间正弦信号：
$$x(t)=A\sin (2\pi ft+\varphi )$$
其中，$A$ 为振幅，$f$ 为频率，$\varphi$ 为相位。

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（二）信号的分类

根据不同的标准，信号可以分为多种类型：

1. 按确定性分

• 确定信号：可以用明确的数学表达式描述。例如，正弦波、方波等。
• 随机信号：具有不确定性，通常用统计特性描述。例如，噪声信号、语音信号等。

2. 按时间域分

• 连续时间信号：信号在所有时间点都有定义（如模拟信号）。
• 离散时间信号：仅在某些特定时间点有定义（如数字信号）。

3. 按周期性分

• 周期信号：满足条件
  $$x(t)=x(t+T),\forall t$$
  其中 $T$ 为周期。
• 非周期信号：不满足上述条件的信号。

4. 按能量与功率分

• 能量信号：总能量有限，平均功率为零。
  $$E={\int }_{-\infty }^{\infty }|x(t){|}^{2}dt<\infty$$
• 功率信号：平均功率有限，总能量无限。
  $$P=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T|x(t){|}^{2}dt<\infty$$

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（三）人工智能中的信号处理需求

在人工智能领域，信号处理是许多关键技术的基础。例如：

1. 语音识别：将语音信号转换为文本，依赖于对音频信号的频谱分析和特征提取。
2. 图像处理：图像作为二维信号，需要通过滤波、边缘检测等技术进行增强和分析。
3. 时间序列预测：在金融、气象等领域，通过分析时间序列信号预测未来趋势。
4. 传感器数据处理：物联网设备产生的传感器信号（如温度、加速度）需要实时分析和处理。

案例：
在卷积神经网络（CNN）中，图像被表示为二维离散信号，通过卷积操作提取局部特征。这一过程本质上是对图像信号的时域（空间域）处理。

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三、系统的概念与分类

（一）系统的定义

系统是指对输入信号进行某种变换以产生输出信号的过程或装置。它可以是物理设备（如滤波器、放大器），也可以是抽象的数学模型（如微分方程、差分方程）。

公式示例：
线性时不变系统（LTI）的输出 $y(t)$ 可表示为输入 $x(t)$ 与系统冲激响应 $h(t)$ 的卷积：
$$y(t)=x(t)\ast h(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )h(t-\tau )d\tau$$

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（二）系统的分类

1. 线性与非线性系统

• 线性系统：满足叠加原理。若输入分别为 $x_1(t)$ 和 $x_2(t)$，对应的输出分别为 $y_1(t)$ 和 $y_2(t)$，则当输入为 $a{x}_1(t)+b{x}_2(t)$ 时，输出应为 $a{y}_1(t)+b{y}_2(t)$，其中 $a$ 和 $b$ 为任意常数。
• 非线性系统：不满足叠加原理。

2. 时变与时不变系统

• 时不变系统：若输入延迟 $t_0$ 秒，则输出也仅延迟 $t_0$ 秒，而不改变波形。
  $$x(t-t_0)\to y(t-t_0)$$

3. 因果与非因果系统

• 因果系统：输出只依赖于当前和过去的输入，不依赖未来的输入。
• 非因果系统：输出依赖未来的输入（理论上存在，但物理上不可实现）。

4. 稳定与不稳定系统

• 稳定系统：有界输入产生有界输出（BIBO稳定）。
  $$|x(t)|\le M_x<\infty \Rightarrow |y(t)|\le M_y<\infty$$
• 不稳定系统：不满足BIBO条件。

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（三）人工智能中的系统建模

在AI中，系统建模通常通过神经网络实现。例如：

1. 卷积神经网络（CNN）：模拟线性时不变系统的卷积操作，用于图像处理。
2. 循环神经网络（RNN）：处理序列信号，模拟时序系统的动态行为。
3. 生成对抗网络（GAN）：通过生成器和判别器的交互，构建复杂的信号生成系统。

案例：
在语音合成中，WaveNet 网络通过建模音频信号的时序特征，生成高质量的语音信号。其核心是通过堆叠卷积层和残差连接，模拟信号的动态变化过程。

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四、Python基础与信号可视化

为了更好地理解信号与系统，掌握一些基本的编程技能是必要的。Python作为一种强大的编程语言，因其简洁性和丰富的库支持，成为了信号处理研究的理想选择。

（一）生成并绘制正弦信号

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 参数设置
fs = 1000  # 采样频率 (Hz)
t = np.arange(0, 1, 1/fs)  # 时间向量
f = 5  # 正弦波频率 (Hz)

# 生成正弦波
x = np.sin(2 * np.pi * f * t)

# 绘制图形
plt.plot(t, x)
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.title('Sine Wave')
plt.grid(True)
plt.show()

（二）AI中的信号处理案例

以下是一个简单的AI驱动信号处理案例（使用PyTorch实现噪声抑制）：

import torch
import torch.nn as nn

# 定义简单的神经网络模型
class DenoiseNet(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(DenoiseNet, self).__init__()
        self.conv1 = nn.Conv1d(1, 16, kernel_size=3, padding=1)
        self.conv2 = nn.Conv1d(16, 1, kernel_size=3, padding=1)
    
    def forward(self, x):
        x = torch.relu(self.conv1(x))
        x = self.conv2(x)
        return x

# 生成噪声信号
def add_noise(signal, snr_db=10):
    snr = 10 ** (snr_db / 10)
    noise_power = np.var(signal) / snr
    noise = np.random.normal(0, np.sqrt(noise_power), signal.shape)
    return signal + noise

# 示例：生成正弦信号并添加噪声
fs = 1000
t = np.linspace(0, 1, fs)
clean_signal = np.sin(2 * np.pi * 5 * t)
noisy_signal = add_noise(clean_signal)

# 转换为PyTorch张量
clean_tensor = torch.tensor(clean_signal, dtype=torch.float32).unsqueeze(0).unsqueeze(0)
noisy_tensor = torch.tensor(noisy_signal, dtype=torch.float32).unsqueeze(0).unsqueeze(0)

# 初始化模型并训练
model = DenoiseNet()
criterion = nn.MSELoss()
optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=0.001)

# 训练循环（简化版）
for epoch in range(100):
    optimizer.zero_grad()
    output = model(noisy_tensor)
    loss = criterion(output, clean_tensor)
    loss.backward()
    optimizer.step()

# 去噪后的信号
denoised_signal = model(noisy_tensor).squeeze().detach().numpy()

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五、总结

本节课介绍了信号与系统的基本概念及其分类，并探讨了它们在人工智能领域的应用。通过Python代码示例，我们展示了如何生成和处理信号，并初步了解了AI驱动的信号处理方法。接下来，我们将深入探讨信号的时域分析方法以及它们在AI中的应用实例。

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六、课后思考题

1. 为什么在人工智能中需要区分能量信号和功率信号？
2. 卷积神经网络（CNN）与信号处理中的卷积操作有何异同？
3. 试举一个实际应用场景，说明时不变系统的意义。

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七、参考文献

1. 清华大学出版社《信号与系统（第3版）》
2. 中国大学MOOC《信号与系统》课程大纲
3. PyTorch官方文档

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通过本节课的学习，相信你已经对信号与系统的基本概念有了初步了解，并开始感受到它们与人工智能的紧密联系。在接下来的课程中，我们将逐步深入，探索更多有趣的理论和实践内容。敬请期待！