1. 引言

在 Python3 中我们学过 range 函数，它是一个用于生成整数序列的内置函数，广泛用于循环控制和序列生成。range() 返回的是可迭代 range 对象，不预先生成所有元素，而是需要时才生成下一个数。

基础语法：

range(stop)
range(start, stop)
range(start, stop, step)

参数说明：

• start：序列的起始值（默认为 0）。
• stop：序列的结束值（不包含该值）。
• step：序列的步长（默认为 1）。

在 NumPy 中提供了更丰富的根据范围生成数组的多种函数：

• arange
• linspace
• logspace
• geomspace
• 稀疏网格相关（后续介绍）：
  • meshgrid
  • mgrid
  • ogrid

2. 等差数列

2.1 arange

numpy.arange：生成固定步长的等差数列。

函数定义：

arange([start,] stop[, step,], dtype=None, *, device=None, like=None)

​注意事项：

• 支持整数和浮点数
• 生成的数组范围为半开区间 [start, stop)，即包含 start 但不包含 stop
• 使用非整数步长（如 0.1）可能导致结果不稳定
• 返回值类型为 ndarray 数组对象

​参数说明：

• start：起始值，若未指定则默认从 0 开始。
• stop：终止值（不包含在结果中）。
• step：相邻元素的间隔值，默认值为 1，若指定 step 为位置参数，则必须同时指定 start。
• dtype：数据类型，默认根据输入参数自动推断类型。
• device：指定数组存储设备。
• like：类数组对象, 允许创建非 NumPy 数组的参考对象。

示例 1 ，生成简单整数序列：

print(np.arange(5))          # [0 1 2 3 4]
print(np.arange(2, 8, 2))    # [2 4 6]

​示例 2 ，生成浮点序列：

print(np.arange(0, 1, 0.3))  # [0.0, 0.3, 0.6, 0.9]

示例 3 ，生成反向序列：

print(np.arange(5, 1, -1))   # [5 4 3 2]

2.2 linspace

numpy.linspace：生成固定数量的等差数列。

函数定义：

def linspace(start, stop, num=50, endpoint=True, retstep=False, dtype=None,
             axis=0, *, device=None):

参数说明：

• start：序列起始值。
• stop：序列结束值。
• num：生成的样本数（默认 50）。
• endpoint：是否包含 stop（默认 True）。
• retstep：是否返回步长（默认 False）。
• dtype：输出数组的数据类型（默认 None，自动推断）。
• axis：当 start 或 stop 是数组​时，决定生成的样本在结果数组中的轴位置。默认值为 0，即在数组的最前面插入新维度；若设为 -1，则在最后面插入。
• device：指定数组存储设备。

和 numpy.arange 的主要区别：

​特性	numpy.linspace	numpy.arange
​核心参数	起点、终点、样本数量（num）	起点、终点、步长（step）
​终点是否包含	默认包含（可通过 endpoint=False 排除）	默认不包含（类似 Python 的 range）
​数据生成逻辑	根据样本数量等分区间	根据步长逐步累加
​浮点数精度	更稳定（避免步长累加的浮点误差）	可能因步长累加导致终点不精确

示例 1 ，通过 num 参数控制生成的样本数量，生成包含终点的简单序列：

import numpy as np

# 生成 0 到 10 之间的 5 个等间隔数（包含终点）
arr = np.linspace(0, 10, 5)
print(arr)  # 输出: [ 0.   2.5  5.   7.5 10. ]

示例 2 ，不包含终点并返回步长：

# 生成 0 到 10 之间的 5 个数（不包含终点），并返回步长
arr, step = np.linspace(0, 10, 5, endpoint=False, retstep=True)
print(arr)  # 输出: [0. 2. 4. 6. 8.]
print(step)  # 输出: 2.0

示例 3 ，起始值为一维数组：

start = np.array([1, 2, 3])
print(start.shape)  # 输出：  (3,)
print(start)    # 输出： [1 2 3]
# 结束值
stop = 10
# 样本数量
num = 5

起始值为数组时，生成的结果数组会增加一个维度（轴），而参数 axis 就是控制结果数组中样本的轴方向。例如，上面起始值为一维数组时，会生成二维数组，可以选择在 0 轴或者 1 轴的方向上进行生成：

axis 的默认值为 0 ，表示始终选择在结果数组的第一个轴上进行生成，示例：

result_axis0 = np.linspace(start, stop, num)
print(result_axis0.shape) # 输出: (5, 3)
print(result_axis0)
# 输出
#  [[ 1.    2.    3.  ]
#  [ 3.25  4.    4.75]
#  [ 5.5   6.    6.5 ]
#  [ 7.75  8.    8.25]
#  [10.   10.   10.  ]]

axis 为 -1 ，表示始终选择在结果数组的最后一个轴上进行生成，示例：

result_axis_1 = np.linspace(start, stop, num, axis=-1)
print( result_axis_1.shape) # 输出: (3, 5)
print(result_axis_1)
# 输出: 
#[[ 1.    3.25  5.5   7.75 10.  ]
# [ 2.    4.    6.    8.   10.  ]
# [ 3.    4.75  6.5   8.25 10.  ]]

如果是二维或者更高维度的数组，同理进行类推即可，比如 start 参数是形状为（2,3,4）的三维数组，其结果为一个四维数组，新维度的长度等于样本数 num（示例中是 5 ） ，这样可以在（2,3,4）的任意位置插入新轴，示例：

• axis = 0 时：（5,2,3,4）
• axis = 1 时：（2,5,3,4）
• axis = 2 时：（2,3,5,4）
• axis = -1 时：（2,3,4,5）

3. 等比数列

3.1 前置知识

3.1.1 等比数列

等比数列列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，这个常数叫做等比数列的公比。

形式为：
$$a_i=a_1\cdot r^{(i-1)}$$
其中：

• $i$：项数（第几项，从 1 开始）
• $a_1$：首项
• $a_i$：第$i$项
• $r$：公比

3.1.2 对数

对数（Logarithm）是指数的逆运算，用于求解底数的多少次幂等于某个数。

基本公式：若 $a^b=N$（其中 $a>0$ 且 $a\ne 1$），则：
$${\log }_{a}N=b$$

其中：

• $a$ 称为底数
• $N$ 称为真数
• $b$ 称为以 $a$ 为底 $N$ 的对数

一个简单示例：

• 指数形式：$2^3=8$
• 对数形式：${\log }_{2}8=3$
• 解读：底数 $2$ 的 $3$ 次幂等于真数 $8$

3.1.3 对数函数

对数函数（Logarithmic Function）是以真数（N）为自变量，对数（b）为因变量，底数（a）为常量的函数，是六类基本初等函数之一。

基本公式：

$$y={\log }_a(x)$$
其中：

• $a$ 是对数的底数​（$a>0$ 且 $a\ne 1$）。
• $x$ 是函数的输入值（$x>0$）。
• $y$ 是输出值，表示 $a$ 的多少次幂等于 $x$，即 $a^y=x$。
• 底数 $a>1$ 时：函数递增，适合描述增长速率逐渐放缓的场景。
• 底数 $0<a<1$ 时：函数递减，适合描述衰减速率逐渐加快的场景。

3.1.4 对数刻度

基础概念：

• 线性刻度（Linear Scale）：坐标轴上的刻度按等距数值均匀分布，数值变化为加法增长。
• 对数刻度（Logarithmic Scale）：将数据按对数值（而非原始值）分布的坐标轴表示方法。

线性刻度之间的间隔相等，比如普通直尺上的厘米刻度。但是线性刻度能容纳的数值有限，所以引入了对数刻度，当数据的值在一个很大范围内时，利用对数使此降低到一个更加易处理的范围。

示例，有一个以 10 为底的对数刻度，每个刻度值都定义为 10 的对数，每个刻度对应的实际值为 $10^0,10^1,10^2,\dots$ ：

3.2 logspace

numpy.logspace：生成在对数刻度上均匀分布的数值序列。指数部分是一个等差数列，数值部分是一个等比数列。

函数定义：

def logspace(start, stop, num=50, endpoint=True, base=10.0, dtype=None,
             axis=0):

参数说明：

• start：对数刻度上的起始值，实际起始值为 base^start ，例如，base=10、start=2 时对应实际值是 100。
• stop：对数刻度上的结束值，实际结束值为 base^stop 。
• base：对应对数函数中的底数，默认值为 10.0 。
• num：生成的样本数量，默认值为 50 。
• endpoint：是否包含实际终止值，默认值为 True 。
• dtype：数据类型，自动推断为浮点型。
• axis：在输入数组时，指定结果插入轴的位置。

示例 1 ：

import numpy as np
arr = np.logspace(1, 3, num=5)
print(arr) # 输出： [  10.    31.62  100.   316.23 1000. ]

结果分析，首先参数如下：

• start：1
• stop：3
• num：5
• base：10（默认值）

在对数刻度上的范围为 [start,stop] 即 [1,3]，如果要生成 5 （num）个均匀样本的话（等差数列），很容易计算出来步长为 0.5 ，那么所有样本在对数刻度上的值为 （1,1.5,2,2.5,3），再转换为实际值，即：

指数表达式	计算结果（保留两位小数）
$10^1$	10.00
$10^{1.5}$	$\approx$ 31.62
$10^2$	100.00
$10^{2.5}$	$\approx$ 316.23
$10^3$	1000.00

在默认情况下（endpoint=True）可以直接套用公式：
$$a_i={\text{base}}^{\left(\text{start}+i\cdot \frac{\text{stop}-\text{start}}{n-1}\right)}$$

其中：

• i：当前元素索引（从 0 到 n-1）。
• ai：索引为 i 的元素。
• base：底数（默认为 10）。
• start：底数的起始指数
• stop：底数的结束指数
• n：生成的元素总数（num 参数）。

当 endpoint=False 时：
$$a_i={\text{base}}^{\left(\text{start}+i\cdot \frac{\text{stop}-\text{start}}{\text{n}}\right)}$$

3.3 geomspace

numpy.geomspace：直接使用实际的数值的范围生成一个等比数列。

函数定义：

numpy.geomspace(start, stop, num=50, endpoint=True, dtype=None, axis=0)

参数说明：

• start：起始值，若为数组，结果将沿指定轴扩展维度。
• stop：终止值。
• num：生成样本的数量。
• endpoint：是否包含终止值，默认 True 。
• dtype: 数据类型。
• axis：仅当 start 或 stop 为类数组时有效，默认在首部插入新轴。

和 numpy.logspace 核心区别：

​特性	​numpy.geomspace	​numpy.logspace
​参数意义	直接指定数值范围​（如 1 到 1000）	指定底数的指数范围​（如 0 到 3 对应 10^0=1 到 10^3=1000）
​默认底数	无固定底数，由 start/stop 决定	默认底数为 10，可自定义（base 参数）
​设计目的	直接生成任意数值范围的等比数列	生成以固定底数为基的指数序列（如科学计算中的分贝、频率）
​等价关系	当 $start=bas{e}^a$, $stop=bas{e}^b$ 时，与 logspace(a, b, base=base) 等价	本质是 geomspace 的固定底数特例

假设生成 num 个数的等比数列，末项为 $a_n=\text{stop}$，根据等比数列公式 $a_i=a_1\cdot r^{(i-1)}$ ，则：
$$a_n=a_1\cdot r^{(n-1)}$$
代入 $a_1=\text{start}$，$a_n=\text{stop}$，解得公比 $r$：
$$r={\left(\frac{\text{stop}}{\text{start}}\right)}^{\frac{1}{n-1}}$$

示例 1 中的求公比结果为 10 ：
$$r={\left(\frac{\text{stop}}{\text{start}}\right)}^{\frac{1}{num-1}}={\left(\frac{\text{1000}}{\text{1}}\right)}^{\frac{1}{4-1}}=1000^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{1000}=10$$

最后按公比 $r$ 逐项生成：
$$\text{arr}=\left[\text{start},\text{start}\cdot r,\text{start}\cdot r^2,\dots ,\text{start}\cdot r^{(n-1)}\right]$$

示例 1 ，在 1 到 1000 的区间内生成 4 个等比数：

g1 = np.geomspace(1, 1000, num=4)
print(g1)  # [   1.   10.  100. 1000.]

不包含结束值（endpoint=False）时，等比的计算公式为：
$$r={\left(\frac{\text{stop}}{\text{start}}\right)}^{\frac{1}{num}}$$
示例 2 中的求公比结果为 5.623 ：
$$r={\left(\frac{1000}{1}\right)}^{\frac{1}{4}}=1000^{0.25}=(10^3{)}^{0.25}=10^{0.75}\approx 5.623$$

示例 2 ，不包含终止值，生成 4 个数：

g1 = np.geomspace(1, 1000, num=4, endpoint=False)
print(g1)  # [  1.     5.62341325  31.6227766  177.827941  ]