主成分分析

主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常用的降维技术和数据分析方法。它通过线性变换将原始高维数据映射到低维空间，从而提取出数据中最重要的特征。

主成分分析的基本原理与数学推导

基本原理

PCA的主要思想是找到一个新的坐标系，将数据投影到这个坐标系上，使得投影后的数据具有最大的方差。这意味着在新的坐标系下，数据的信息尽可能地集中在少数几个维度上，而其他维度的方差较小，可以被忽略。
具体步骤如下：

1. 对原始数据进行去中心化，使得数据的均值为0。
2. 计算数据的协方差矩阵。
3. 对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
4. 根据特征值的大小，选择前k个特征向量作为主成分，其中k是降维后的维度。
5. 将原始数据投影到选定的主成分上，得到降维后的数据。

数学推导

设原始数据矩阵为$X\in R^{m\times n}$，其中$m$为样本数，$n$为特征数。我们的目标是将数据降低到$k$维。

$1.$ 去中心化

对原始数据矩阵$X$进行去中心化，即将每个特征减去其均值，得到去中心化矩阵$Z$：

$$Z=X-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{X}_i$$

其中，$X_i$表示第$i$个样本。

$2.$ 协方差矩阵

计算去中心化矩阵$Z$的协方差矩阵$C$，其中：

$$C=\frac{1}{m}{Z}^{T}Z$$

协方差矩阵$C$的各个元素为：

$$\begin{array}{rl}{C}_{1,1}& =\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(z_{i,1}-{\bar{z}}_1{)}^2\\ C_{1,2}& =\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(z_{i,1}-{\bar{z}}_1)(z_{i,2}-{\bar{z}}_2)\\ \cdots & \\ C_{i,j}& =\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(z_{i,i}-{\bar{z}}_i)(z_{i,j}-{\bar{z}}_j)\\ \cdots & \\ C_{n,n}& =\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(z_{i,n}-{\bar{z}}_n{)}^2\end{array}$$

其中，$z_{i,j}$表示去中心化矩阵$Z$中第$i$个样本的第$j$个特征，${\bar{z}}_j$是所有样本的第$j$个特征的均值。

$3.$ 特征值分解

对协方差矩阵$C$进行特征值分解，得到特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$和对应的特征向量$v_1,v_2,\cdots ,v_n$。

$$C{v}_i={\lambda }_i{v}_i,i=1,2,\cdots ,n$$

由于协方差矩阵$C$是实对称矩阵，所以其特征向量$v_1,v_2,\cdots ,v_n$是正交的单位向量。

$4.$ 选择主成分

根据特征值的大小，选择前$k$个特征向量，构成投影矩阵$P=[v_1,v_2,\cdots ,v_k]$，其中$v_i$为第$i$个特征向量。这$k$个特征向量就是数据中最重要的$k$个特征，也称为主成分。

$5.$ 投影

将去中心化矩阵$Z$投影到选定的主成分上，得到降维后的数据矩阵$Y$：

$$Y=ZP$$

其中，$Y\in R^{m\times k}$，$P\in R^{n\times k}$。

代码实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.decomposition import PCA

# 加载iris数据集
data = load_iris()
X = data.data
y = data.target

# 创建PCA对象，并设置降维后的维度为2
pca = PCA(n_components=2)

# 使用fit_transform方法进行降维
transformed_data = pca.fit_transform(X)

# 可视化降维结果
colors = ['navy', 'turquoise', 'darkorange']
# 设置线宽
lw = 2
for color, i, target_name in zip(colors, [0, 1, 2], data.target_names):
    plt.scatter(transformed_data[y == i, 0], transformed_data[y == i, 1], color=color, 
                alpha=0.8, lw=lw,label=target_name)

plt.legend(loc='best', shadow=False, scatterpoints=1)
plt.xlabel('Principal Component 1')
plt.ylabel('Principal Component 2')
plt.title('PCA of IRIS dataset')
plt.show()

上述代码首先加载了iris数据集，并将数据和标签分别存储在X和y变量中。然后，创建了一个PCA对象，并通过设置n_components参数为2，指定降维后的维度为2。接着，使用fit_transform方法对数据进行降维并得到降维后的结果transformed_data。最后，可视化降维结果，并使用不同颜色表示不同类别的数据点。运行代码后，会显示降维结果的散点图（如下图所示）。

总结

主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用的降维方法，可以用于减少数据的维度并提取出数据的主要特征。其基本原理是找到一个新的坐标系，将数据投影到这个坐标系上，使得投影后的数据具有最大的方差。具体步骤包括去中心化、计算协方差矩阵、进行特征值分解、选择主成分和投影。我们在实践的过程中可以使用sklearn中的PCA对象进行降维，并根据需要选择合适的降维后的维度。总之，PCA是一种简单有效的降维方法，可以在保留主要特征的情况下减少数据的维度，从而提高机器学习算法的效率。