10.12Python数学基础-矩阵（下）
设 A 是一个 m×n 的矩阵，其元素为 aij，那么 A 的转置矩阵 A^T 是一个 n×m 的矩阵，其元素为 aji。
9.矩阵的转置
矩阵的转置（Transpose）是矩阵操作中的一种基本运算。它通过交换矩阵的行和列来生成一个新的矩阵。具体来说，如果 A 是一个
m×n 的矩阵，那么它的转置矩阵 A^T 是一个 n×m 的矩阵，其中 A^T 的第 i 行第 j 列的元素等于 A 的第 j 行第i 列的元素。
定义
设 A 是一个 m×n 的矩阵，其元素为 aij，那么 A 的转置矩阵 A^T 是一个 n×m 的矩阵，其元素为 aji。
例子
假设有一个矩阵 A：
A=(123456) A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix} A=(142536)
这个矩阵是一个 2×3 的矩阵。它的转置矩阵 A^T 是一个 3×2 的矩阵，计算如下：
AT=(142536) A^{T}=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5\\3 & 6 \end{pmatrix} AT=
123456
性质
矩阵转置具有以下性质：
- (AT)T = A：一个矩阵的转置的转置等于原矩阵。
- (A + B)^T = A^T + B^T：两个矩阵和的转置等于它们各自转置的和。
- (kA)^T = kA^T：一个矩阵乘以一个标量的转置等于该矩阵的转置乘以该标量。
- (AB)^T = B^T A^T：两个矩阵乘积的转置等于它们各自转置的乘积，但顺序相反。
特殊矩阵
-
对称矩阵：如果一个矩阵 A 满足 A^T=A，那么 A 是对称矩阵。对称矩阵的元素关于主对角线对称。
如：
A=(113114341) A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4 \\ 3 & 4 & 1\end{pmatrix} A= 113114341 -
反对称矩阵：如果一个矩阵 A 满足 A^T=−A，那么 A 是反对称矩阵。反对称矩阵的主对角线元素必须为零，且关于主对角线对称的元素互为相反数。
如：
A=(013−104−3−40) A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 4 \\ -3 & -4 & 0\end{pmatrix} A= 0−1−310−4340 AT=(0−1−310−4340)=−A A^{T}=\begin{pmatrix} 0 & -1 & -3 \\ 1 & 0 & -4 \\ 3 & 4 & 0\end{pmatrix}=-A AT= 013−104−3−40 =−A
反对称矩阵：
aij=−aji a_{ij}=-a_{ji} aij=−aji
所以：
aii=−aii=>2aii=0=>aii=0 a_{ii}=-a_{ii}=>2a_{ii}=0=>a_{ii}=0 aii=−aii=>2aii=0=>aii=0
得出主对角线元素必须为零。
对称矩阵和反对称矩阵都是方阵。
矩阵A和B为同阶对称矩阵，AB对称的充要条件为AB=BA
证明：
AB对称则
(AB)T=AB (AB)^{T}=AB (AB)T=AB
同时
(AB)T=BTAT (AB)^{T}=B^{T}A^{T} (AB)T=BTAT
由于A和B是对称矩阵，则
(AB)T=BTAT=BA (AB)^{T}=B^{T}A^{T}=BA (AB)T=BTAT=BA
所以
AB=BA AB=BA AB=BA
思考：
A为反对称矩阵，则A^k为？
证明：
(Ak)T=(A×A...×A)T=AT×AT...×AT=(−A)×(−A)...×(−A)=(−1)kAk (A^{k})^{T}=(A\times A ...\times A)^{T}=A^{T}\times A^{T}...\times A^{T}=(-A)\times (-A)...\times (-A)=(-1)^{k}A^{k} (Ak)T=(A×A...×A)T=AT×AT...×AT=(−A)×(−A)...×(−A)=(−1)kAk
如果k为偶数，则
(Ak)T=Ak (A^{k})^{T}=A^{k} (Ak)T=Ak
此时A^k为对称矩阵
如果k为奇数，则
(Ak)T=−Ak (A^{k})^{T}=-A^{k} (Ak)T=−Ak
此时A^k为反对称矩阵
10.方阵的行列式
要计算行列式的前提为矩阵A为方阵。
性质：A为n阶的方阵
∣AT∣=∣A∣ |A^{T}|=|A| ∣AT∣=∣A∣
∣kA∣=kn∣A∣ |kA|=k^{n}|A| ∣kA∣=kn∣A∣
∣−A∣=(−1)n∣A∣ |-A|=(-1)^{n}|A| ∣−A∣=(−1)n∣A∣
∣AB∣=∣A∣∣B∣ |AB|=|A||B| ∣AB∣=∣A∣∣B∣
∣Am∣=∣A∣m |A^{m}|=|A|^{m} ∣Am∣=∣A∣m
∣E∣=1 |E|=1 ∣E∣=1
例子
1.有矩阵A
A=(120030−145) A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 4 & 5\end{pmatrix} A=
10−1234005
求|2A|和|A|A
解：
det(A)=∣120030−145∣=3×(−1)2+2∣10−15∣=15 det(A)=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 4 & 5\end{vmatrix}=3\times (-1)^{2+2}\begin{vmatrix} 1 & 0\\-1 & 5 \end{vmatrix}=15 det(A)=
10−1234005
=3×(−1)2+2
1−105
=15
则
det(2A)=23det(A)=120 det(2A)=2^{3}det(A)=120 det(2A)=23det(A)=120
det(A)A=15A=15(120030−145)=(153000450−156075) det(A)A=15A=15\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 4 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 15 & 30 & 0 \\ 0 & 45 & 0 \\ -15 & 60 & 75\end{pmatrix} det(A)A=15A=15 10−1234005 = 150−153045600075
2.A为n阶方阵，|A|=3，求
∣∣A∣AT∣=? ||A|A^{T}|=? ∣∣A∣AT∣=?
解：
∣∣A∣AT∣=∣A∣n∣AT∣=∣A∣n+1=3n+1 ||A|A^{T}|=|A|^{n}|A^{T}|=|A|^{n+1}=3^{n+1} ∣∣A∣AT∣=∣A∣n∣AT∣=∣A∣n+1=3n+1
11.伴随矩阵
设 A 是一个 n×n 的方阵，其元素为 aij。伴随矩阵 adj(A)或A* 是一个 n×n的矩阵，其第 i 行第 j 列的元素是 A 的余子式 Mji 的代数余子式 Cji，即：
(A∗)ij=Cji=(−1)i+jMji (A^{*})_{ij}=C^{ji}=(−1)^{i+j}M_{ji} (A∗)ij=Cji=(−1)i+jMji
其中 Mji是 A 的第j 行第i 列元素的余子式，即去掉第 j 行和第 i 列后剩下的 (n−1)×(n−1) 矩阵的行列式。
简单理解：
1.先按行求出每个元素的代数余子式
2.将每行元素的代数余子式按列组成一个矩阵，该矩阵就是伴随矩阵。
例如：
A=(111213114) A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4\end{pmatrix} A=
121111134
求A的伴随矩阵A*
解：
按行求出每个元素的代数余子式：
C11=(−1)1+1∣1314∣=1,C12=(−1)1+2∣2314∣=−5,C13=(−1)1+3∣2111∣=1C21=−3,C22=3,C23=0C31=2,C32=−1,C33=−1 C_{11}=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}=1,C_{12}=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}=-5,C_{13}=(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=1\\ C_{21}=-3,C_{22}=3,C_{23}=0\\ C_{31}=2,C_{32}=-1,C_{33}=-1 C11=(−1)1+1
1134
=1,C12=(−1)1+2
2134
=−5,C13=(−1)1+3
2111
=1C21=−3,C22=3,C23=0C31=2,C32=−1,C33=−1
然后将每行元素的代数余子式按列组成矩阵：
C=(1−32−53−110−1) C=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ -5 & 3 & -1 \\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix} C=
1−51−3302−1−1
性质：
AA∗=A∗A=∣A∣E AA^{*}=A^{*}A=|A|E AA∗=A∗A=∣A∣E
证明：
(a11C11+a12C12+...+a1nC1n0...00a21C21+a22C22+...+a2nC2n...0⋮00...an1Cn1+an2Cn2+...+annCnn)=(∣A∣0...00∣A∣...0⋮00...∣A∣)=∣A∣E \begin{pmatrix} a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+...+a_{1n}C_{1n} & 0 & ... & 0 \\ 0 & a_{21}C_{21}+a_{22}C_{22}+...+a_{2n}C_{2n} & ... & 0 \\& \vdots \\ 0 & 0 & ... & a_{n1}C_{n1}+a_{n2}C_{n2}+...+a_{nn}C_{nn}\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}|A| & 0 & ... & 0 \\ 0 & |A| & ... & 0 \\& \vdots \\ 0 & 0 & ... & |A| \end{pmatrix}=|A|E
a11C11+a12C12+...+a1nC1n000a21C21+a22C22+...+a2nC2n⋮0.........00an1Cn1+an2Cn2+...+annCnn
=
∣A∣000∣A∣⋮0.........00∣A∣
=∣A∣E
性质2：
∣A∗∣=∣A∣n−1 |A^{*}|=|A|^{n-1} ∣A∗∣=∣A∣n−1
证明：
∣AA∗∣=∣A∣∣A∗∣=∣∣A∣E∣=∣A∣n∣E∣=∣A∣n |AA^{*}|=|A||A^{*}|=||A|E|=|A|^{n}|E|=|A|^{n} ∣AA∗∣=∣A∣∣A∗∣=∣∣A∣E∣=∣A∣n∣E∣=∣A∣n
所以
∣A∣∣A∗∣=∣A∣n=>∣A∣(∣A∣n−1−∣A∗∣)=0 |A||A^{*}|=|A|^{n}=>|A|(|A|^{n-1}-|A^{*}|)=0 ∣A∣∣A∗∣=∣A∣n=>∣A∣(∣A∣n−1−∣A∗∣)=0
得出
∣A∣=0或∣A∗∣=∣A∣n−1 |A|=0 或 |A^{*}|=|A|^{n-1} ∣A∣=0或∣A∗∣=∣A∣n−1
如果|A|=0，则A中两行元素相等或成比例，或一行元素为0，则其代数余子式必有一行元素为0，所以
∣A∗∣=0=0n−1=∣A∣n−1 |A^{*}|=0=0^{n-1}=|A|^{n-1} ∣A∗∣=0=0n−1=∣A∣n−1
所以等式成立。
12.逆矩阵
对于一个 n×n 的方阵 A，如果存在另一个 n×n的方阵 B，使得 AB=BA=E，其中 E 是 n×n 的单位矩阵，那么 B 称为 A 的逆矩阵，记作
A−1 A^{−1} A−1
逆矩阵的存在条件
一个矩阵 A 有逆矩阵的充分必要条件是 A 是可逆的，即 det(A)≠0。如果 det(A)=0，则 A 是奇异矩阵，没有逆矩阵。
思考：如果A可逆，则可逆矩阵是唯一的
证明：
假设可逆矩阵不是唯一的，存在两个可逆矩阵B1和B2，则由可逆矩阵定义可知：
AB1=B1A=EAB2=B2A=E AB_{1}=B_{1}A=E\\ AB_{2}=B_{2}A=E AB1=B1A=EAB2=B2A=E
则：
B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2 B_{1}=B_{1}E=B_{1}(AB_{2})=(B_{1}A)B_{2}=EB_{2}=B_{2} B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2
所以可逆矩阵唯一。
性质：
1.n阶方阵A可逆的充要条件为
∣A∣≠0 |A|\neq 0 ∣A∣=0
且当A可逆时，
A−1=1∣A∣A∗ A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^{*} A−1=∣A∣1A∗
证明：
充分性：
因为
∣A∣≠0 |A|\neq 0 ∣A∣=0
则
AA∗=A∗A=∣A∣E=>A(1∣A∣A∗)=(1∣A∣A∗)A=E AA^{*}=A^{*}A=|A|E=>A(\dfrac{1}{|A|}A^{*})=(\dfrac{1}{|A|}A^{*})A=E AA∗=A∗A=∣A∣E=>A(∣A∣1A∗)=(∣A∣1A∗)A=E
所以A可逆，并且
A−1=1∣A∣A∗ A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^{*} A−1=∣A∣1A∗
必要性：
因为A可逆，则
AB=BA=E=>∣AB∣=∣A∣∣B∣=∣E∣=1 AB=BA=E=>|AB|=|A||B|=|E|=1 AB=BA=E=>∣AB∣=∣A∣∣B∣=∣E∣=1
所以
∣A∣≠0 |A|\neq 0 ∣A∣=0
例子：
有矩阵A：
A=(101210−32−5) A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & -5\end{pmatrix} A=
12−301210−5
问矩阵A是否可逆，如果可逆，求可逆矩阵
解：
∣A∣=∣101210−32−5∣=−5+4+3=2≠0 |A|=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & -5\end{vmatrix}=-5+4+3=2\neq 0 ∣A∣=
12−301210−5
=−5+4+3=2=0
所以A可逆
A−1=1∣A∣A∗=12(−52−110−227−21) A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^{*}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -5 & 2 & -1 \\ 10 & -2 & 2 \\ 7 & -2 & 1\end{pmatrix} A−1=∣A∣1A∗=21
−51072−2−2−121
2.设A、B 和 C 是 n×n 的可逆矩阵，那么它们的乘积 ABC的逆矩阵为：
(ABC)−1=C−1B−1A−1 (ABC)^{−1}=C^{−1}B^{−1}A^{−1} (ABC)−1=C−1B−1A−1
13.初等变换
初等变换一般可以分为两种类型：行变换、列变换。
初等行变换：
-
交换两行：将矩阵的第 i 行和第 j 行交换位置
如：矩阵第二行和第三行交换
(123456789)−>(123789456) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}->\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} 147258369 −> 174285396 -
某一行乘以非零常数：将矩阵的第i 行乘以一个非零常数 k
如：第二行乘以非零整数k
(123456789)−>(1234k5k6k789) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}->\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4k & 5k & 6k \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix} 147258369 −> 14k725k836k9 -
某一行加上另一行的倍数：将矩阵的第 i行加上第 j 行的 k 倍
如：矩阵第一行乘以-4加到第二行
(123456789)−>(1230−3−6789) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}->\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix} 147258369 −> 1072−383−69
初等列变换
- 交换两列：将矩阵的第 i 列和第 j 列交换位置
- 某一列乘以非零常数：将矩阵的第 i 列乘以一个非零常数 k
- 某一列加上另一列的倍数：将矩阵的第 i 列加上第 j 列的 k 倍
14.矩阵的标准形
常见的矩阵标准形包括行阶梯形矩阵、简化行阶梯形矩阵等。
14.1 行阶梯形矩阵
行阶梯形矩阵是一种特殊的矩阵形式，具有以下特征：
- 非零行在零行之上：所有非零行都在零行之上。
- 主元：每一行的第一个非零元素（主元）在上一行主元的右边。
- 主元下方元素为零：每一行的主元下方元素都为零。
例如，以下矩阵是一个行阶梯形矩阵：
(123056009),(123405670009) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 9\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 6 & 7\\ 0 & 0 &0 & 9\end{pmatrix}
100250369
,
100250360479
简单理解为：用折线表示，竖线只过一个数，横线可过多个数
下边的矩阵不是行阶梯形矩阵
14.2 简化行阶梯形矩阵
简化行阶梯形矩阵是行阶梯形矩阵的一种特殊形式，具有以下特征：
- 非零行在零行之上：所有非零行都在零行之上。
- 主元为 1：每一行的第一个非零元素（主元）为 1。
- 主元下方元素为零：每一行的主元下方元素都为零。
- 主元上方元素为零：每一行的主元上方元素都为零。
即：
1.是行阶梯形矩阵；2.非0行的首非0元是1；3.非0行的首非0元所在列的其它元素都是0
红色折线表示矩阵为行阶梯形矩阵；蓝色圆圈表示首非0元是1；黄色竖线表示首非0元所在列的其它元素都是0
例子：
有矩阵A
(2−1−11211−2144−62−2436−979) \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 4 & -6 & 2 & -2 & 4\\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9\end{pmatrix}
2143−11−66−1−22−911−272449
求该矩阵的行阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵
解：
1.第1行和第2行交换，得到
(11−2142−1−1124−62−2436−979) \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\ 4 & -6 & 2 & -2 & 4\\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9\end{pmatrix}
12431−1−66−2−12−911−274249
2.第1行乘以-2加到第2行，第1行乘以-4加到第3行，第1行乘以-3加到第4行，得到
(11−2140−33−1−60−1010−6−1203−34−3) \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\ 0 & -10 & 10 & -6 & -12\\ 0 & 3 & -3 & 4 & -3\end{pmatrix}
10001−3−103−2310−31−1−644−6−12−3
3.第2行乘以-10/3加到第3行，第2行加到第4行，得到
(11−2140−33−1−6000−8380003−9) \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -\dfrac{8}{3} & 8\\ 0 & 0 & 0 & 3 & -9\end{pmatrix}
10001−300−23001−1−3834−68−9
4.第3三行乘以3/8，得到
(11−2140−33−1−6000−130003−9) \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 3 & -9\end{pmatrix}
10001−300−23001−1−134−63−9
5.第3行乘以3加到第4行，得到一个阶梯形矩阵
(11−2140−33−1−6000−1300000) \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
10001−300−23001−1−104−630
6.第三行乘以-1，得到
(11−2140−33−1−60001−300000) \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
10001−300−23001−1104−6−30
7.第3行乘以-1加到第1行，第3行加到第2行
(11−2070−330−90001−300000) \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 0 & 7\\ 0 & -3 & 3 & 0 & -9 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
10001−300−230000107−9−30
8.第2行乘以1/3加到第1行，得到
(10−1040−330−90001−300000) \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 4\\ 0 & -3 & 3 & 0 & -9 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
10000−300−130000104−9−30
9.第2行乘以-1/3，得到一个行简化阶梯形矩阵
(10−10401−1030001−300000) \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 4\\ 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
10000100−1−100001043−30
思考：行阶梯形矩阵是唯一的吗？行简化阶梯形矩阵是唯一的吗？
行阶梯形矩阵不是唯一的，上边例子中第5、6、7步得到的矩阵都是行阶梯形矩阵
如果只做初等行变换，行简化阶梯形矩阵是唯一的，因为不能再简化了
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