“根据函数零点的情况，讨论参数的范围”是高考考查的重点和难点.对于这类问题，我们既可以利用零点定理求解，也可以利用数形结合思想求解.

利用零点定理求解参数范围

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上连续且满足f(a)・f(b)

对于在高中阶段常遇到的问题：“已知连续函数y=f(x)在[a，b]上单调，且在(a，b)上存在一个零点，求参数范围”，可用f(a)・f(b)

例1 [2012年高考数学天津卷(理科)第4题改编] 已知函数f(x)=2x+x3-a (a∈R)在区间(0，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是 .

解： 观察可知，函数f(x)在区间[0，1]上单调递增，又f(x)在区间(0，1)上存在一个零点，故f(0)・f(1)

利用数形结合思想求解参数范围

如果函数F(x)可以转化成两个函数g(x)，h(x)之差的形式，那么F(x)的零点问题就可以看作函数g(x)，h(x)图象的交点问题，函数F(x)的零点就是函数g(x)，h(x)图象交点的横坐标.同样的，方程F(x)=g(x)-h(x)=0的实数根问题，实质也是F(x)的零点问题，也可以看作函数g(x)，h(x)图象的交点问题.因此，对于含参函数F(x)=g(x)-h(x)，我们可以利用数形结合思想作出g(x)，h(x)的图象，并根据两图象的交点情况求解参数范围.

例2 [2011年高考数学北京卷(理科)第13题] 已知函数f(x)=■，x≥2；(x-1)3，x

解： 当x≥2时， f(x)=■，此时f(x)在[2，+∞)上单调递减，且0

当x

如图1所示，作出函数y=f(x)的图象.关于x的方程f(x)=k有两个不等的实根即y=f(x)的图象与直线y=k有两个交点，故当且仅当0

在例2中，根据f(x)的表达式，我们能很容易地确定其单调性、极值等，故可直接作出f(x)的图象，利用数形结合思想解题.在作图时，要注意利用函数的奇偶性、单调性等性质，标出函数的零点、极值、最值等要素，尽量把图象画准确，避免误判.

例3 [2013年高考数学北京卷(文科)第18题第(2)问] 已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx.若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同的交点，求实数b的取值范围.

解： f′(x)=2x+xcosx+sinx-sinx=x(2+cosx).因为2+cosx>0，所以当x>0时， f′(x)>0， f(x)在(0，+∞)上单调递增；当x

如图2所示，作出函数f(x)的草图.因为曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同的交点，故实数b的取值范围是(1，+∞).

在例3中，函数f(x)形式复杂，直接作出其图象有困难，因此可以先通过求导研究函数的单调性和极值，作出大致图象，再观察f(x)的图象与直线y=b的图象的交点.通过平移直线y=b确定交点个数，即可求得参数范围.

例4 [2013年高考数学陕西卷(理科)第21题第(2)问] 已知函数f(x)=ex (x>0)，讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx2 (m>0)公共点的个数.

解： 曲线y=f(x)与曲线y=mx2 (m>0)公共点的个数就是函数h(x)=ex-mx2 (x>0)的零点个数，也即方程ex=mx2 (x>0)的实数根的个数.

整理得m=■ (x>0)，令g(x)=■，则g′(x)=■=■.当x∈(0，2)时，g′(x)0，g(x)在(2，+∞)上单调递增，所以g(x)min=g(2)=■.又当x0时，g(x)+∞；当x+∞时，g(x)+∞.

如图3所示，作出g(x)=■ (x>0)的图象与直线y=m (m>0)的图象.当m∈0，■时，直线y=m与曲线g(x)无交点，即曲线y=f(x)与曲线y=mx2 (m>0)无公共点；同理可得，当m=■时，曲线y=f(x)与曲线y=mx2 (m>0)有1个公共点.当m∈■，+∞时，曲线y=f(x)与曲线y=mx2 (m>0)有2个公共点.

在例4中，直接根据含参二次函数y=mx2(m>0)与曲线f(x)=ex(x>0)的图象讨论它们的交点个数和参数m的取值之间的关系，比较难判断.由于两曲线的公共点的个数就是函数h(x)=ex-mx2 (x>0)的零点个数，所以可以通过讨论函数h(x)的零点和参数的关系来求得结果.但是求导后算式复杂，零点很难确定，这条路走不通.而函数h(x)=ex-mx2的零点就是方程ex=mx2的实数根，因此我们考虑利用参数分离法，将问题转变为求方程m=■的实数根个数的问题，讨论直线y=m与曲线g(x)=■的交点情况，这样就相对便利了.

【练一练】

(1) 已知函数f(x)=mx2-2x+1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是

(A) (-∞，1] (B) (-∞，0]∪{1}

(C) (-∞，0)∪(0，1] (D) (-∞，1)

(2) 已知函数f(x)=x3-3x2-9x+3，若函数g(x)=f(x)-m在[-2，5]上有3个零点，求实数m的取值范围.

【参考答案】

(1) B (当m=0时， f(x)=-2x+1，函数零点为x=■，满足题意. 当m≠0时，若Δ=(-2)2-4m=0，则m=1，由此可得唯一零点x=1，满足题意. 若Δ>0，则函数图象与坐标轴有两个不同的交点.因为f(0)=1，所以x=0不是函数的零点.此时若函数f(x)的图象开口向上，则两个零点必定同为正或同为负，不合题意；只有当f(x)的图象开口向下时，两个零点一正一负，符合题意.因此有Δ=(-2)2-4m>0，m

(2) 解： f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)，其图象为开口向上的二次图象，零点为x1=-1，x2=3. 结合[-2，5]可得，当x∈[-2，-1)∪(3，5]时， f′(x)>0；当x∈(-1，3)时， f′(x)

故f(x)极小值=f(3)=24， f(x)极大值=f(-1)=8，且 f(-2)=1， f(5)=8.

如图4所示，作出函数f(x)的大致图象，要使函数g(x)=f(x)-m在[-2，5]上有3个零点，只要使函数f(x)在[-2，5]上的图象与直线y=m有3个交点即可.

由图4可知，当m∈[8，+∞)时，函数f(x)的图象与直线y=m至多有2个交点；当m∈[1，8)时，函数f(x)的图象与直线y=m有3个交点；当m∈(-24，1)时，有2个交点；当m∈(-∞，-24]时，函数f(x)的图象与直线y=m至多有1个交点.故m∈[1，8).