人口增长模型

模型准备

世界人口增长概况

年	1625	1830	1930	1960	1974	1987	1999
人口(亿)	5	10	20	30	40	50	60

中国人口增长概况

年	1908	1933	1953	1964	1982	1990	1995	2000
人口(亿)	3.0	4.7	6.0	7.2	10.3	11.3	12.0	13.0

1. 研究调查问题背景，找得越全越好
2. 研究人口变化规律，去解释目前人口变化现状
3. 制定现在的政策

如何将实际问题和现有知识挂钩
$$\begin{array}{c}今年人口x_0,年增长率r\\ k年后人口x_k=x_0(1+r{)}^k\\ \\ 指数增长模型——马尔萨斯提出\\ 基本假设：人口(相对)增长率r是常数\\ x(t)时刻的人口\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{x(t)}=r\Delta t\\ \frac{dx}{dt}=rx,x(0)=x_0\end{array}$$
$x_0$是定解条件初始条件
$\frac{dx}{dt}=rx$是常微分方程
分离变量法解微分方程
$$\frac{dx}{x}=rdt$$
两边分别求不定积分
$$\ln |x|=rt+C$$
叫做微分方程通解
将初始条件代入
$$x(t)=x_0{e}^{rt}$$
$$x(t)=x_0(e^r{)}^t\approx x_0(1+r{)}^t$$
随着时间增加，人口按指数规律无限增长

指数增长模型的应用及局限性

• 可用于短期人口增长预测
• 不符合19世纪后多数地区人口增长规律
• 仅适用于物资非常丰富的情景
  19世纪后，人口增长率$r$不是常数，逐渐下降

阻滞增长模型

人口增长到一定数量后，增长率下降的原因
资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用
阻滞作用随人口数量增加而变大，即r是x的减函数
假设
$$r(x)=r-sx(r,s>0)$$
当x很小时，r就是固有增长率或自然增长率
$x_m$，人口容量(资源、环境能容纳的最大数量)
$$r(x_m)=0$$
$$s=\frac{r}{x_m}$$
$$r(x)=r(1-\frac{x}{x_m})$$
代入常微分方程
$$\frac{dx}{dt}=r(x)x=rx\left(1-\frac{x}{x_m}\right)$$
$\frac{dx}{dt}$就是时间改变一个单位数，人口的改变量

S形曲线，x增加先快后慢
$$x_t=\frac{x_m}{1+(\frac{xm}{x_0}-1)e^{-rt}}$$

参数估计

用阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数$r$和$x_m$

• 利用统计数据用最小二乘法作拟合
• $r$=0.2557，$x_m$=392.1

模型检验

用模型计算2010年美国人口，与实际数据比较
$$x(2010)=274.5$$
实际为281.4

模型应用

预报美国2020年人口
加入2010年人口数据后重新估算模型参数
$$r=0.2490,x_m=434.0$$
$$x(2020)=306.0$$

数学建模一般步骤

1. 模型准备
   了解实际背景，明确建模目的，搜集有关信息，掌握对象特征
2. 模型假设
   针对问题特点和建模目的，作出合理、简化的假设，在合理与简化之间折中
3. 模型构成
   用数学的语言、符号描述问题，尽量采用简单的数学工具
4. 模型求解
   各种数学方法，软件和计算机技术
5. 模型分析
   结果的误差分析，统计分析，模型对数据的稳定性分析
6. 模型检验
   与实际现象，数据比较，检验模型的合理性，适用性

数学建模全过程

1. 根据建模目的和信息将实际问题翻译成数学问题
2. 选择适当的数学方法求得数学模型的解答
3. 将数学语言表述的解答翻译回实际对象
4. 用现实对象的信息检验得到的解答

微分方程的稳定性分析

• 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳定
• 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态稳定性

捕鱼业的持续收获

背景

• 再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益
  问题及分析
• 在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳
• 如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定

产量模型

1. 假设
   $$x(t)\sim 渔场鱼量$$

• 无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律
  $$\dot{x}(t)=f(x)=rx\left(1-\frac{x}{N}\right)$$
  $$r\sim 固有增长率，N\sim 最大鱼量$$
• 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比
  $$h(x)=Ex,E\sim 捕捞强度$$

2. 建模
   记
   $$F(x)=f(x)-h(x)$$
   捕捞情况下渔场鱼量满足
   $$\dot{x}(t)=F(x)=rx\left(1-\frac{x}{N}\right)-Ex$$

• 不需要求解x(t)，只需要知道稳定的条件

一阶微分方程的平衡点及其稳定性

$$\dot{x}=F(x)$$
一阶非线性自治方程

$F(x)=0$的根$x_0$就是微分方程的平衡点
$$\dot{x}{|}_{x=x_0}=0$$
设$x(t)$是方程的解，若从$x_0$某邻域的任意初值出发，都有${\lim }_{t\to \infty }x(t)=x_0$
称$x_0$是方程的稳定平衡点

• 不求$x(t)$，有判断$x_0$稳定性的方法，直接法
  近似线性方程，一阶导
  $$\dot{x}=F^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$

1. $F^{\prime }(x_0)<0$，$x_0$稳定
2. $F^{\prime }(x_0)>0$，$x_0$不稳定

$$\dot{x}(t)=F(x)=rx\left(1-\frac{x}{N}\right)-Ex$$
令$F(x)=0$
$$x_0=N\left(1-\frac{E}{r}\right),x_1=0$$
稳定性判断，代入到一阶导函数里面
$$F^{\prime }(x_0)=E-r,F^{\prime }(x_1)=r-E$$
$$E<r\to F^{\prime }(x_0)<0,F^{\prime }(x_1)>0\to x_0稳定,x_1不稳定$$
$$E>r\to F^{\prime }(x_0)>0,F^{\prime }(x_1)<0\to x_0不稳定,x_1稳定$$
E：单位时间的捕捞强度，r：增长率
如果单位时间捕捞强度小于增长率，$x_0$稳定，t趋于无穷大的时候，渔场的鱼量$x_t$会趋于这个点，也就是随着时间推移，渔场的鱼量会保持在这么多
如果单位时间捕捞强度大于增长率，$x_1$稳定，每天捕捞的比鱼量增加的多，t趋于无穷大的时候，渔场的鱼量趋于0

怎么使产量最大

在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大
$$F(x)=f(x)-h(x)$$
$$\dot{x}(t)=f(x)=rx\left(1-\frac{x}{N}\right)$$
$$h(x)=Ex$$
求$h(x)$，并且使其最大
捕捞强度是E，也就是要求E，使得h最大

图解法

$$F(x)=0\to f与h交点P$$
当P点在抛物线的顶点时，产量是最大的
$$P^{\ast }\left(x_0=\frac{N}{2},h_m=r\frac{N}{4}\right)$$
$$E^{\ast }=\frac{h_m}{x_0^{\ast }}=\frac{r}{2}$$
控制渔场鱼量为最大鱼量一半的时候

效益模型

在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大
假设

• 鱼销售价格p
• 单位捕捞强度费用c
  收入
  $$T=ph(x)=pEx$$
  支出
  $$S=cE$$
  单位时间利润
  $$R=T-S=pEx-cE$$
  代入稳定平衡点$x_0=N\left(1-\frac{E}{r}\right)$
  $$R(E)=T(E)-S(E)=pNE\left(1-\frac{E}{r}\right)-cE$$
  求E使得R(E)最大
  $$E_R=\frac{r}{2}\left(1-\frac{c}{pN}\right)<E^{\ast }=\frac{r}{2}$$
  渔场鱼量
  $$x_R=N\left(1-\frac{E_R}{r}\right)=\frac{N}{2}+\frac{c}{2p}$$
  $$h_R=\frac{rN}{4}\left(1-\frac{c^2}{p^2{N}^2}\right)$$
  捕捞过度
• 封闭式捕捞追求利润$R(E)$最大
• 开放式捕捞只求利润$R(E)>0$
  $$E_R=\frac{r}{2}\left(1-\frac{c}{pN}\right)$$
  $$R(E)=T(E)-S(E)=pNE\left(1-\frac{E}{r}\right)-cE=0$$
  令$R(E)=0$
  $$E_s=r\left(1-\frac{c}{pN}\right)$$
  $R(E)=0$时的捕捞强度(临界强度)$E_s=2E_R$
  

临界强度下的渔场鱼量
$$x_s=N\left(1-\frac{E_s}{r}\right)=\frac{c}{p}$$
$$p\uparrow ,c\downarrow \to E_s\uparrow ,x_s\downarrow$$
捕捞过度

种群的相互竞争

• 一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。
• 当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量
• 建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件
  模型假设：
• 有甲乙两个种群，它们独自生存时数量变化均服从Logistic规律
  $${\dot{x}}_1(t)=r_1{x}_1\left(1-\frac{x_1}{N_1}\right)$$
  $${\dot{x}}_2(t)=r_2{x}_2\left(1-\frac{x_2}{N_2}\right)$$
• 两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比; 甲对乙有同样的作用，是相互竞争关系
  模型：
  $$\dot{x_1}(t)=r_1{x}_1\left(1-\frac{x_1}{N_1}-{\sigma }_1\frac{x_2}{N_2}\right)$$
  $$\dot{x_2}(t)=r_2{x}_2\left(1-{\sigma }_2\frac{x_1}{N_1}-\frac{x_2}{N_2}\right)$$
  对于消耗甲的资源而言，乙是甲的${\sigma }_1$倍
  ${\sigma }_1>1$
  对于甲增长的阻滞作用而言，乙大于甲，乙的竞争力强
  模型分析：

1. 找平衡点
   $t\to \infty$时，$x_1(t),x_2(t)$的趋向(平衡点及其稳定性)

二阶非线性自治方程
$${\dot{x}}_1(t)=f(x_1,x_2),{\dot{x}}_2(t)=g(x_1,x_2)$$
的平衡点及其稳定性

求平衡点$P_0(x_1^0,x_2^0)$的代数方程
$$f(x_1,x_2)=0$$
$$g(x_1,x_2)=0$$
的根

若从$P_0$的某邻域的任意初值出发，都有${\lim }_{t\to \infty }{x}_1(t)=x_1^0,{\lim }_{t\to \infty }{x}_2(t)=x_2^0$，称$P_0$时微分方程的稳定平衡点

判断稳定性的方法——直接法
近似线性方程
$${\dot{x}}_1(t)=f_{x_1}(x_1^0,x_2^0)(x_1-x_1^0)+f_{x_2}(x_1^0,x_2^0)(x_2-x_2^0)$$
$${\dot{x}}_2(t)=g_{x_1}(x_1^0,x_2^0)(x_1-x_1^0)+g_{x_2}(x_1^0,x_2^0)(x_2-x_2^0)$$
求出
$$A=\left[\begin{array}{ccc}{f}_{x_1}& & f_{x_2}\\ g_{x_1}& & g_{x_2}\end{array}\right]{|}_{P_0}$$
$$\{\begin{array}{c}{\lambda }^2+p\lambda +q=0\\ p=-(f_{x_1}+g_{x_2}){|}_{P_0}\\ q=\det A\end{array}$$
若$p>0$且$q>0$，平衡点$P_0$稳定
若$p<0$或$q<0$，平衡点$P_0$不稳定

模型求解
$$f(x_1,x_2)=r_1{x}_1\left(1-\frac{x_1}{N_1}-{\sigma }_1\frac{x_2}{N_2}\right)=0$$
$$g(x_1,x_2)=r_2{x}_2\left(1-{\sigma }_2\frac{x_1}{N_1}-\frac{x_2}{N_2}\right)=0$$
平衡点$P_1(N_1,0),P_2(0,N_2),P_3\left(\frac{N_1(1-{\sigma }_1)}{1-{\sigma }_1{\sigma }_2},\frac{N_2(1-{\sigma }_2)}{1-{\sigma }_1{\sigma }_2}\right)P_4(0,0)$
仅当${\sigma }_1{\sigma }_2<1$或${\sigma }_1{\sigma }_2<1$，$P_3$才有意义

$$p=-(f_{x_1}+g_{x_2}){|}_{P_i},q=\det A{|}_{P_i},i=1,2,3,4$$
平衡点$P_i$稳定条件：p>0且q>0

P1, P2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点
P3 是两种群共存的平衡点

种群的相互依存

甲乙两种群的相互依存有三种形式：

1. 甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。
2. 甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。
3. 甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。
   模型假设

• 甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律; 甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长
• 乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用 (服从Logistic规律)。
  模型
  $${\dot{x}}_1(t)=r_1{x}_1\left(1-\frac{x_1}{N_1}+{\sigma }_1\frac{x_2}{N_2}\right)$$
  乙为甲提供食物是甲消耗的s1 倍
  $${\dot{x}}_2(t)=r_2{x}_2\left(-1+{\sigma }_2\frac{x_1}{N_1}-\frac{x_2}{N_2}\right)$$
  甲为乙提供食物是乙消耗的s2 倍
  

P2是甲乙相互依存而共生的平衡点

种群模型的几种形式

相互竞争
$${\dot{x}}_1(t)=r_1{x}_1\left(1-\frac{x_1}{N_1}-{\sigma }_1\frac{x_2}{N_2}\right)$$
$${\dot{x}}_2(t)=r_2{x}_2\left(1-{\sigma }_2\frac{x_1}{N_1}-\frac{x_2}{N_2}\right)$$
相互依存
$${\dot{x}}_1(t)=r_1{x}_1\left(\pm 1-\frac{x_1}{N_1}+{\sigma }_1\frac{x_2}{N_2}\right)$$
$${\dot{x}}_2(t)=r_2{x}_2\left(\pm 1+{\sigma }_2\frac{x_1}{N_1}-\frac{x_2}{N_2}\right)$$
弱肉强食
$${\dot{x}}_1(t)=r_1{x}_1\left(1-\frac{x_1}{N_1}-{\sigma }_1\frac{x_2}{N_2}\right)$$
$${\dot{x}}_2(t)=r_2{x}_2\left(-1+{\sigma }_2\frac{x_1}{N_1}-\frac{x_2}{N_2}\right)$$