一、图的概念与图论模型

(一)、图的定义与图论模型

一个图是一个序偶 $<V,E>$，记为 $G=(V,E)$, 其中：（vertex，edge）

• (1) $V$ 是一个有限的非空集合，称为顶点集合, 其元素称为顶点或点。用 $|V|$ 表示顶点数；
• (2) $E$ 是由 $V$ 中的点组成的无序对构成的集合，称为边集，其元素称为边，且同一点对在 $E$ 中可以重复出现多次。用 $|E|$ 表示边数。

注： 图G的顶点数（或阶数）和边数可分别用符号n(G) 和m(G)表示。连接两个相同顶点的边的条数，叫做边的重数。重数大于1的边称为重边。端点重合为一点的边称为环。

图的相关概念

名词	概念
有限图	顶点集和边集都有限的图称为有限图；
平凡图	只有一个顶点而无边的图称为平凡图；其他所有的图都称为非平凡图
空图	边集为空的图称为空图；
n阶图	顶点数为n的图称为n阶图；
(n, m) 图	顶点数为n,边数为m的图称为(n, m) 图；
边的重数	连接两个相同顶点的边的条数称为边的重数；重数大于1的边称为重边；
环	端点重合为一点的边称为环；
简单图	无环无重边的图称为简单图；其余的图称为复合图；
顶点u与v相邻接	顶点u与v间有边相连接；其中u与v称为该边的两个端点；
顶点u与边e相关联	顶点u是边e的端点；
边$e_1$与边$e_2$相邻接	边$e_1$与边$e_2$有公共端点；
孤立点	不与任何边相关联的点；

(二)、图的同构

定义： 设有两个图$G_1=(V_1,E_1)$和$G_2=(V_2,E_2)$, 若在其顶点集合间存在双射（即存在一一对应），使得边之间存在如下关系：设$u_1\leftrightarrow u_2{v}_1\leftrightarrow v_2,u_1,v_1\in V_1,u_2,v_2\in V_2;u_1{v}_1\in E_1$,当且仅当$u_2{v}_2\in E_2$, 且$u_1{v}_1$与$u_2{v}_2$的重数相同。称$G_1$与$G_2$同构，记为： $G_1\cong G_2$

关于图的同构(Isomorphic)，最简单的例子就是五边形和五角星了：

上图中，G1和G2为同构的，因为：

（1）从G1的结点到G2的结点，存在一个一对一的映上函数 f (one - to - one and onto function f )

（2）从G1的边到G2的边，存在一个一对一的映上函数 g (one - to - one and onto function g )

G1中，边e1与结点a，b相关联，当且仅当(if and only if) G2中边 g(e) 与结点 f(a) 和 f(b) 相关联（E1和结点A，B相关联）。若满足此条件，函数 f 和 g 称为从G1到G2的同构映射(Isomorphism)

1. 判断两图同构
对于某个顺序，如果两个图是同构的，则两个图的邻接矩阵是相同的：

这两个矩阵对应的是上面的两个图

2. 判断两图不同构
找到一个特性，是G1具有，而G2不具有的，这个特性称为不变量(invariant)，或不变条件

如果G1和G2同构，则两个图都具有此特性，也就是说，如果G1和G2同构，G1具有某性质，则G2也具有此性质

以此图为例，这两个图是不同构的，因为G1有5条边，G2有6条边。

由定义可以得到图同构的几个必要条件：

(1) 顶点数相同；(2) 边数相同；(3) 关联边数相同的顶点个数相同。

图不同构的充分条件：① 顶点数不相同；② 边数不相同；③ 度数相等的顶点个数不相同。（满足一个即否定）

判定图的同构是很困难的，属于NP完全问题。对于规模不大的两个图，判定其是否同构，可以采用观察加推证的方法。

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作业：P29—P30 3, 4, 5, 6

(三)、完全图、偶图与补图

（1）每两个不同的顶点之间都有一条边相连的简单图称为完全图 .

在同构意义下，$n$ 个顶点的完全图只有一个，记为 $K_n$，常称为n阶完全图

容易求出： $m\left(K_n\right)=\frac{1}{2}n\left(n-1\right)$ , 即 $m\left(K_n\right)=n-1+n-2+n-3+...+1$

（2）所谓具有二分类$(X,Y)$的偶图（或二部图）： 是指一个图，它的点集可以分解为两个(非空)子集$X$和$Y$，使得每条边的一个端点在$X$中，另一个端点在$Y$中.

完全偶图： 是指具有二分类 $(X,Y)$ 的简单偶图，其中$X$的每个顶点与$Y$的每个顶点相连,若$|X|=m，|Y|=n$，则这样的偶图记为 $K_{m,n}$

（3）对于一个简单图 $G=(V,E)$，令集合

E1={uv∣u≠v,u,v∈V}E_1=\left\{uv|u\neq v,u,v\in V\right\}E1​={uv∣u=v,u,v∈V}

则称图 $H=(V,E_1\backslash E)$ 为 $G$ 的补图，记为 $H=\overline{G}$

补图是相对于完全图定义的，图 $G$ 的补图，通俗的来讲就是完全图 Kn 去除 G 的边集后得到的图 Kn-G。

在图论里面，一个图G的补图：有着跟G相同的顶点集，G里面没有形成的边在补图里有。

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这两个补图结合起来就是下面这个形状：

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如果图G与其补图同构，则称G为自补图。

定理： 若$n$阶图$G$是自补图($G\cong \overline{G}$), 则有：$n=0,1(\mathrm{mod}4)$

注： 自补图，G 与 补图同构，边数相同。

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利用自补图的性质： $n=0,1(\mathrm{mod}4)$ ，判断下面那些模 4 等于 0 或 1 即可。

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(四)、顶点的度与图的度序列

（1）顶点的度及其性质

$G$ 的顶点 $v$ 的度 $d(v)$ 是指 $G$ 中与 $v$ 关联的边的数目，每个环计算两次。

分别用 $\delta (G)$ 和 $\Delta (G)$ 表示图 $G$ 的最小与最大度。

奇数度的顶点称为奇点，偶数度的顶点称偶点。

设$G=(V,E)$为简单图，如果对所有 $v\in V$，有 $d(v)=k$，称图 $G$ 为 $k$-正则图，完全图和完全偶图 $K_{n,n}$ 均是正则图，$K_n$ 的完全同，同时也表示 $n-1$ 正则图，$K_{n,n}$ 表示完全偶图的两个点集数量都为 $n$，也是 $n-1$ 正则图。

定理： 图 $G=(V,E)$ 中所有顶点的度的和等于边数 $m$ 的 $2$ 倍，即：(该定理还有一个名字叫握手定理)

$$\sum _{\begin{array}{c}v\in V(G)\end{array}}d\left(v\right)=2m$$

证明： 由顶点度的定义知：图中每条边给图的总度数贡献2度，所以，总度数等于边数2倍。

推论 1 在任何图中，奇点个数为偶数。（奇点： 度为奇数的点）

证明： 设$V_1,V_2$分别是$G$中奇点集和偶点集, 则由握手定理有： $$\sum _{v\in V_1}d\left(v\right)+\sum _{v\in V_2}d\left(v\right)=\sum _{v\in V}d\left(v\right).$$

是偶数，由于 ${\sum }_{v\in V_2}d\left(v\right)$ 是偶数，所以 ${\sum }_{v\in V_1}d\left(v\right)$ 是偶数，于是 $|V_1|$ 是偶数 （因为所有度之和为偶数，偶点集度之和肯定为偶数，偶点集与奇点集的度之和为偶数，所以奇点集的个数一定是奇数）

推论 2 正则图的阶数和度数不同时正则图度数为奇数，即 $d(v)$ 为奇数 ，也即 k 正则图中的 k 为奇数，并且顶点数为 偶数。（设$G=(V,E)$为简单图，如果对所有 $v\in V$，有$d(v)=k$，称图$G$为$k$-正则图 ）

证明 ： 设$G$是$k$-正则图，若$k$为奇数，则由推论 1 知正则图$G$的点数必为偶数。（$k$为$G$中每个顶点度数，阶数指 $G$ 中的顶点数）

当 $k$ 为偶数时，点数可偶可奇

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（2）图的度序列及其性质
一个图G的各个点的度$d_1,d_2,\dots ,d_n$构成的非负整数组 ($d_1,d_2,\dots ,d_n$) 称为$G$的度序列(或者度分布) 。

任意一个图G对应唯一一个度序列，图的度序列是刻画图的特征的重要“拓扑不变量”。

图 G 的“拓扑不变量”是指与图G有关的一个数或数组(向量)。它对于与图G同构的所有图来说，不会发生改变。

一个图 $G$ 可以对应很多拓扑不变量。如果某组不变量可完全决定一个图，称它为不变量的完全集。

定理： 非负整数组($d_1,d_2,\dots ,d_n$)是图的度序列的充分必要条件是：${\sum }_{i=1}^n{d}_i$ 为偶数。

证明：
必要性 由握手定理立即得到。

充分性证明： 如果 ${\sum }_{i=1}^n{d}_i$ 为偶数，则数组中为奇数的数字个数必为偶数。按照如下方式作图 $G$：（1）若 $d_i$ 为偶数，则在与之对应的点作 $d_i/2$ 个环（每个环算两次度）；（2）对于剩下的偶数个奇数，两两顶点先连一条边（这样每个奇点就变成了偶点），然后在每个顶点画 $(d_j-1)/2$ 个环。该图的度序列就是已知数组。（下面是一个案例）

一个非负数组如果是某简单图的度序列，我们称它为可图序列，简称图序列。

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关于图序列，主要研究3个问题：

定理： 非负整数组
$$\pi =(d_1,d_2,\cdots ,d_n),d_1\ge d_2\ge \cdots \ge d_n,\sum _{i=1}^n{d}_i=2m\text{注意公式中数组元素为降序排列}$$

是图序列的充分必要条件是：
$$\begin{array}{r}{\pi }_1=(d_2-1,d_3-1,\cdots ,d_{d_1+1}-1,d_{d_1+2},\cdots ,d_n)\text{注意d1不变}\end{array}$$

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${\pi }_1$ 是对 $\pi$ 去掉第一个点，后面 $d_1$ 个点每个点度减去一得到，${\pi }_2$ 是对 ${\pi }_1$ 去掉第一个点，并对后面 $d_2$ 个点每个点度减去一得到，…

步骤：

• ① 对度进行从大到小排序
• ② 去掉第一个点，将后面 $d_1$ 个点减一
• ③ 循环上述操作

对应的简单图，则需要回推

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下面这个定理了解即可

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(五) 图的频序列及其性质

定理： 一个简单图$G$的$n$个点的度不能互不相同

证明： 因为图$G$为简单图，所以：$\Delta (G)\le n-1$。

定义： 设$n$阶图$G$的各点的度取$s$个不同的非负整数 $d_1,d_2,...,d_s.$。又设度为$d_i$的点有$b_i$个 $(i=1,2,\dots ,s)$，则
$$\sum _{i=1}^s{b}_i=n$$

故非整数组($b_1,b_2,...,b_s$)是$n$的一个划分，称为$G$的频序列。

定理 5 一个 $n$ 阶图 G 和它的补图 $\bar{G}$ 有相同的频序列

证明： 设图$G$的任一顶点$v$的度数为$k$ , 则该顶点在补图中的度数为 $n-1-k$。因此：在$G$中有$b$个度数为$k$的顶点，则在补图中就有$b$个度数为$n-1-k$个顶点。

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作业 P29—P30 8, 9, 10, 11

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二、子图、图运算、路与连通性

(一)、子图的相关概念

1、子图

简单地说，图G的任意一部分(包括本身)都称为是图G的的一个子图。

定义 1 如果 $V(H)\subseteq V\left(G\right),E(H)\subseteq E\left(G\right)$ 且$H$中边的重数不超过$G$中对应边的条数，则称$H$为$G$的子图，记为 $H\subseteq G$

当 $H\subseteq G,H\ne G$ 时，称$H$是$G$的真子图，记为 $H\subset G$

2、点与边的导出子图

(1) 图$G$的顶点导出子图

定义2 如果 $V^{\prime }\subseteq V(G)$ ，则以 $V^{\prime }$ 为顶点集，以两个端点均在 $V^{\prime }$ 中的边集组成的图，称为图$G$的点导出子图。记为：$G\left[V^{\prime }\right]$

(2) 图$G$的边导出子图

定义 3 如果 $E^{\prime }\subseteq E(G)$，则以 $E^{\prime }$ 为边集，以 $E^{\prime }$ 中边的所有端点为顶点集组成的图，称为图 $G$ 的边导出子图。记为：$G\left[E^{\prime }\right]$

3、图的生成子图

定义3 如果图$G$的一个子图 包含$G$的所有顶点，称该子图为$G$的一个生成子图

定理： 简单图$G=(n,m)$的所有生成子图个数为$2^m$（即$C_m^0+C_m^1+C_m^2+...+C_m^m$）

(二)、图运算

在图论中，将两个或更多的图按照某种方式合并，或者对一个图作某种形式的操作，可以得到很有意义的新图。将图合并或对一个图进行操作，称为图运算。图运算形式很多。

1、图的删点、删边运算

(1)、图的删点运算

设 $V^{\prime }\subseteq V\left(G^{\prime }\right)$ ，在 $G$ 中删去 $V^{\prime }$ 中的顶点和 $G$ 中与之关联的所有边的操作，称为删点运算。记为 $G-V^{\prime }$

特别地，如果 V′={v}V^{\prime} = \{v\}V′={v}，则记为 $G-v$.

(2)、图的删边运算

设 $E^{\prime }\subseteq E(G)$ ，在 $G$ 中删去 $E^{\prime }$ 中的所有边的操作，称为删边运算。记为 $G-E^{\prime }$

特别地，如果 E′={e}E^{\prime} = \{e\}E′={e}，则记为 $G-e.$

注意：删边操作后，边两边的点依然还在，删点操作，则会删除一同关联得边

2、图的并运算

设$G_1,G_2$是$G$的两个子图，$G_1$与$G_2$并是指由 $V\left(G_1\right)\cup V\left(G_2\right)$ 为顶点集，以 $E(G_1)\cup E(G_2)$ 为边集组成的子图。记为： $G_1\cup G_2$

特别是，如果$G_1,G_2$不相交(没有公共顶点)，称它们的并为直接并，可以记为：$G_1+G_2$

3、图的交运算

设$G_1,G_2$是$G$的两个子图，$G_1$与$G_2$交是指由 $V\left(G_1\right)\cap V\left(G_2\right)$ 为顶点集，以 $E(G_1)\cap E(G_2)$ 为边集组成的子图。记为： $G_1\cap G_2$

4、图的差运算

设$G_1,G_2$是$G$的两个子图，$G_1$与$G_2$的差是指从$G_1$中删去$G_2$中的边得到的新图。记为$G_1-G_2$.

5、图的对称差运算(或环和运算)

设$G_1,G_2$是$G$的两个子图, $G_1$与$G_2$ 的对称差定义为：
$$G_1\Delta G_2=(G_1\cup G_2)-(G_1\cap G_2)$$

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例题

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6、图的联运算

设$G_1,G_2$是两个不相交的图，作$G_1+G_2$，并且将$G_1$中每个顶点和$G_2$中的每个顶点连接，这样得到的新图称为$G_1$与$G_2$的联图。记为 ：$G_1\vee G_2$

因此：$K_1\vee K_4=K_5,K_2\vee K_3=K_5$，同理 $K_6=K_1\vee K_5=K_2\vee K_4=K_3\vee K_3$

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7、图的积图

设 $G_1=(V_1,E_1),G_2=(V_2,E_2),$ 是两个图。对点集 $V=V_1\times V_2$ 的任意两个点 $u=(u_1,u_2)$ 与 $v=(v_1,v_2),$ 当 $(u_1=v_1$ 和 $u_2$ adj $v_2)$ 或 $(u_2=v_2$ 和 $u_1$ adj $v_1)$时，把$u$与$v$相连。如此得到的新图称为$G_1$与$G_2$的积图。记为 $G=G_1\times G_2$

注： $u_2$ adj $v_2$ 表示，$u_2$ 与 $v_2$ 相邻 (adjacent：相邻的)

图中： 组合出所有点 (1, 3) (1, 4) (1, 5) (2, 3) (2, 4) (2, 5)，然后将满足定义的点连接

边的数目为： $n_1{m}_2+n_2{m}_1$

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8、图的合成图

设 $G_1=(V_1,E_1),G_2=(V_2,E_2),$ 是两个图。对点集 $V=V_1\times V_2$ 的任意两个点 $u=(u_1,u_2)$ 与 $v=(v_1,v_2)$, 当 ($u_1$ adj $v_1)$ 或 $(u_1=v_1$ 和 $u_2$ adj $v_2)$时，把$u$与$v$相连。如此得到的新图称为$G_1$与$G_2$的合成图。记为 $G\text{ = }{G}_1[G_2]$

与上述图的积图不同的是，此定义只需满足第一个点对相邻，第二个点随意，或第一个点对相同，第二个点对相邻
边的数目为： $n_1{m}_2+n_2{m}_1$

合成图的边数目为： $n_1{m}_2+n_2^2{m}_1$，因为 ($u_1$ adj $v_1)$ 为 $n_2^2{m}_1$ 条边，$(u_1=v_1$ 和 $u_2$ adj $v_2)$ 为 $n_1{m}_2$ 条边

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“超立方体” 可以采用积图来递归构造。定义如下：

(1) 1 方体 $Q_1=K_2$
(2) $n$ 方体定义为：$Q_n=K_2\times Q_{n-1}$
(3) 所有的 $n$ 方体都是偶图

构建 $n$ 方体的方法，对所有点进行二进制编码。$Q_1$ 用 0,1，$Q_2$ 用 00,01,10,11，$Q_3$ 用 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111，依次类推，n 方体每上升一位，二进制编码增加一位。构建 $Q_n$，需要画两个 $Q_{n-1}$ 方体，然后二进制编码位数为 n，并在二进制表示中，将只有一处不同的连接起来。

比如：$Q_2$ 到 $Q_3$

总结：

• ① 任何 n 方体，都能够构建
• ② n 方体，$2^n$ 个点，每个点的度数为 n
• ③ 结构优点：可靠性高

9、图的联合

把$G_1$的一个顶点和$G_2$的一个顶点粘合在一起后得到的新图称为$G_1$与$G_2$的联合。记为：$G_1=G_1\bullet G_2$

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积图为 $n_1{m}_2+n_2{m}_1$ 是因为 $(u_1=v_1$ 和 $u_2$ adj $v_2)$ 为 $n_1{m}_2$ 条边， $(u_2=v_2$ 和 $u_1$ adj $v_1)$ 为 $n_2{m}_1$ 条边。

合成图为 $n_1{m}_2+n_2^2{m}_1$，是因为 ($u_1$ adj $v_1)$ 为 $n_2^2{m}_1$ 条边，$(u_1=v_1$ 和 $u_2$ adj $v_2)$ 为 $n_1{m}_2$ 条边

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(三)、路与连通性

对图的路与连通性进行研究，在计算机网络研究中有十分重要的意义。因为网络的抽象就是一个图。研究网络信息传递，信息寻径是主要问题之一，这恰对应于图中路的研究；在网络研究中，可靠性也是主要问题之一，它与图的连通性问题相对应。

1、路与连通性的相关概念

(1)、图中的途径
$G$的一条 途径（或通道或通路） 是指一个有限非空序列 $w=v_0{e}_1{v}_1{e}_2{v}_2\dots e_k{v}_k$，它的项交替地为顶点和边，使得 $1\le i\le k$，$e_i$ 的端点是 $v_{i-1}$ 和 $v_i$. （这里的顶点和边可以重复）

途径中边数称为途径的长度；$v_0,v_k$ 分别称为途径的起点与终点，其余顶点称为途径的内部点。

(2)、图中的迹

边不重复的途径称为图的一条迹。（顶点可以重复）
首尾顶点重复的迹成为回路

(3)、图中的路

顶点不重复的途径称为图的一条路。（即顶点和边都不能重复，但起始顶点和结尾顶点可以重复，此时为圈）

注： 起点与终点重合的途径、迹、路分别称为图的闭途径、闭迹与圈。闭迹也称为回路。长度为$k$的圈称为$k$圈，$k$为奇数时称为奇圈，$k$为偶数时称为偶圈。

(4)、图中两顶点的距离

图中顶点$u$与$v$的距离：$u$与$v$间最短路的长度称为$u$与$v$间距离。记为 $d(u,v)$。 如果$u$与$v$间不存在路，定义 $d(u,v)=\infty$.

(5)、图中两顶点的连通性

图$G$中点$u$与$v$说是连通的，如果$u$与$v$间存在通路。否则称$u$与$v$不连通。点的连通关系是等价关系。

如果图$G$中任意两点是连通的，称$G$是连通图，否则，称$G$是非连通图。非连通图中每一个极大连通部分，称为$G$的连通分支。$G$的连通分支的个数，称为$G$的分支数，记为 $\omega (G)$

如下： $G_1$ 是连通图，$G_2$ 是非连通图，$G_2$ 中的 $v_5,v_6$ 就是一个连通分支，其余部分是一个连通分支

(6)、图的直径

连通图G的直径定义为：
d(G)=max{d(u,v)∣u,v∈V(G)}d\left(G\right)=max\left\{d\left(u,v\right)|u,v\in V\left(G\right)\right\}d(G)=max{d(u,v)∣u,v∈V(G)}

如果G不连通，图G的直径定义为：$d(G)=\infty$

2、连通性性质

定理1： 若图$G$不连通，则其补图连通 （$G$ 不连通，一定有多个分支）

证明： （分别用两点 $u,v$ 在 $G$ 的同一分支与不同分支两种情况，在 $\overline{G}$ 中均连通来说明补图连通）
（1）对 $\forall u,v\in V\left(\overline{G}\right)$ , 如果$u,v$属于$G$的同一分支（如图中的 $v_1,v_2$），设 $w$（如图中的 $v_3$）是与 u, v 处于不同分支中的点，则在 $G$ 的补图中，u与w, v与w分别邻接，于是，u与v在G的补图中是连通的，通过 w，为 uwv。

如果u与v在G的两个不同分支中，则在G的补图中必然邻接，因此，也连通。

所以，若G不连通，G的补图是连通的。

3、偶图的判定定理

定理2 一个图是偶图当且仅当它不包含奇圈。（偶图指一个图，它的点集可以分解为两个(非空)子集$X$和$Y$，使得每条边的一个端点在$X$中，另一个端点在$Y$中，奇圈是指路径长度为奇数的圈）

证明： 必要性，即证明一个图是偶图，那一定不含有奇圈，设$G$是具有二分类 ($X,Y)$ 的偶图，并且 $C=v_0{v}_1...v_k{v}_0$是$G$的一个圈，不失一般性，可假定 $v_0\in X$。一般说来， $v_{2i}\in X$, $v_{2i+1}\in Y$。又因为 $v_0\in X$，所以 $v_k\in Y$（说明 $k$ 是奇数），由此即得$C$是偶圈。

充分性： 已知一个图不含有奇圈，在$G$中任意选取点$u$, 定义$V$的分类如下：（即将 $G$ 中的点分为两个集合）

X={x∣d(u,x)是偶数, x∈V(G)}Y={y∣d(u,y)是奇数, y∈V(G)} \begin{gathered} X=\{x\mid d\left(u,x\right)\text{是偶数, }x\in V(G)\} \\ Y=\{y\mid d\left(u,y\right)\text{是奇数, }y\in V(G)\} \end{gathered} X={x∣d(u,x)是偶数, x∈V(G)}Y={y∣d(u,y)是奇数, y∈V(G)}​

下面证明： 对$X$中任意两点$v$与$w$ , $v$与$w$不邻接！

设$v$与$w$是$X$中任意两个顶点。$P$是一条最短$(u,v)$路 ，而$Q$是一条最短的$(u,w)$路。

又设$u_1$是$P$和$Q$的最后一个交点（因为这段路径可能有多个重复习点）。由于$P,Q$是最短路，所以$P,Q$中$u$到$u_1$段长度相同，因此奇偶性相同。又$P,Q$的长均是偶数 （因为均来自我们定义的 $X$），所以 $P,Q$中$u_{1}v$段和$u_{1}w$段奇偶性相同。因此 $(v,w)$ 路为偶数，因为奇偶性相同的两段路相加为偶数，因此， 如果$v$与$w$邻接（将 v，w 相连），则可得到奇圈，矛盾！（说明 $vw$ 一定不能邻接也就说明了图为偶图 ）

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答： 根据 定理2 一个图是偶图当且当它不包含奇圈。可知，
1.不是（含有奇圈） 2.是 3.是（没有圈） 4.不是

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三、最短路算法、图的代数表示

(一)、最短路算法

1、相关概念

(1) 赋权图

在图$G$的每条边上标上一个实数$w(e)$后, 称$G$为边赋权图。被标上的实数称为边的权值。

若$H$是赋权图$G$的一个子图，称 $W\text{(}H\text{)}={\sum }_{e\in E\text{(}H\text{)}}w\text{(}e\text{)}$ 为子图$H$的权值。

权值的意义是广泛的。可以表示距离，可以表示交通运费，可以表示网络流量，在朋友关系图甚至可以表示友谊深度。但都可以抽象为距离。

(2) 赋权图中的最短路

设$G$为边赋权图。$u$与$v$是$G$中两点，在连接$u$与$v$的所有路中，路中各边权值之和最小的路，称为$u$与$v$间的最短路。

(3) 算法

解决某类问题的一组有穷规则，称为算法。

1) 好算法
算法总运算量是问题规模的多项式函数时，称该算法为好算法。(问题规模：描述或表示问题需要的信息量)

算法中的运算包括算术运算、比较运算等。运算量用运算次数表示。

2) 算法分析
对算法进行分析，主要对时间复杂性进行分析。分析运算量和问题规模之间的关系。

2、最短路算法

1959年，旦捷希(Dantjig）发现了在赋权图中求由点$a$到点$b$的最短路好算法，称为顶点标号法。
$\mathbf{t}\left({\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}\right)$: 点 ${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$ 的标号值，表示点 ${\mathbf{a}}_1=\mathbf{a}$ 到${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$的最短路长度

Ai={a1,a2,...,ai}\mathbf{A_i=\{a_1,a_2,...,a_i\}}Ai​={a1​,a2​,...,ai​}:已经标号的顶点集合。

$T_i$ : $a_1$到$a_i$的最短路上的边集合

算法叙述如下：

实际思想为： 选标记初始点，后续不断寻找已标记点到周围点的最短路，选择一个最短的标记，每次循环仅标记一个点，最终找到最短路

时间复杂性分析：
对第$i$次循环：步骤(2)要进行i次比较运算，步骤(3)要进行i次加法与i次比较运算。所以，该次循环运算量为$3i$ .所以，在最坏的情况下，运算量为$n^2$级，是好算法。

算法证明：（不掌握）
定理1：算法中的函数$t(a_i)$给出了$a$与$a_i$的距离。

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将 8,5,3 能装换的所有状态列举出来,赋边权1

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(二)、图的代数表示

用邻接矩阵或关联矩阵表示图，称为图的代数表示。用矩阵表示图，主要有两个优点： (1) 能够把图输入到计算机中；(2) 可以用代数方法研究图论。

1、图的邻接矩阵

定义 1 设$G$为$n$阶图，$V=v_1,v_2,\dots ,v_n$,邻接矩阵$A(G)=(a_{ij})$, 其中：

$$a_{ij}=\{\begin{array}{ll}l,v_i\text{与 }{v}_j\text{间 边 数}& \\ \text{0,}{v}_i\text{和 }{v}_j\text{不 邻 接}& \end{array}$$

• 行和或者列和都表示该顶点的度

2. 图G的邻接矩阵的性质

(1) 非负性与对称性
由邻接矩阵定义知$a_{ij}$是非负整数，即邻接矩阵是非负整数矩阵；

在图中点$v_i$与$v_j$邻接，有$v_j$与$v_i$邻接，即$a_{ij}=a_{ji}$. 所以，邻接矩阵是对称矩阵。

(2) 同一图的不同形式的邻接矩阵是相似矩阵。
这是因为，同图的两种不同形式矩阵可以通过交换行和相应的列变成一致。

(3) 如果$G$为简单图，则$A(G)$为布尔矩阵; 行和(列和)等于对应顶点的度数；矩阵元素总和为图的总度数，也就是$G$的边数的2倍。

(4) G 连通的充分必要条件是：$A(G)$不能与如下矩阵相似
$$(\begin{array}{cc}{A}_{11}& 0\\ 0& A_{22}\end{array})$$

证明：

1. 必要性 若不然：设$A_{11}$对应的顶点是$v_1,v_2,\dots ,v_k,A_{22}$对应的顶点为$v_{k+1},v_{k+2},\dots ,v_n$
   
   显然，$v_i(1\le i\le k)$ 与 $v_j(k+1\le i\le n)$ 不邻接，即 $G$ 是非连通图。矛盾！

2. 充分性
   若不然：设$G_1$与$G_2$是$G$的两个不连通的部分，并且设V(G1)={v1,v2,...,vk},V(G2)={vk+1,vk+2,...,vn}\mathrm{V(G_1)=\{v_1,v_2,...,v_k\},V(G_2)=\{v_{k+1},v_{k+2},...,v_n\}}V(G1​)={v1​,v2​,...,vk​},V(G2​)={vk+1​,vk+2​,...,vn​},
   如果在写$G$的邻接矩阵时，先排$V(G_1)$中点，再排$V(G_2)$中点，则$G$的邻接矩阵形式必为：
   $$\left(\begin{array}{cc}{A}_{11}& 0\\ 0& A_{22}\end{array}\right)$$

(5) 定理：设 $A^k(G)=({a_{ij}}^{(k)})$，则${a_{ij}}^{(k)}$表示顶点$v_i$到顶点$v_j$的途径长度为$k$的途径条数。（$A^k(G)$ 表示 $A(G)$ 的 $k$ 次方，其中 $A(G)$ 为邻接矩阵）☆☆☆☆☆☆

证明：
对$k$作数学归纳法证明。 当$k=1$时，由邻接矩阵的定义，结论成立；
设结论对$k-1$时成立。当为$k$时：

一方面：先计算$A^k$ ：
$$\begin{array}{rl}{A}^k& =A^{k-1}\bullet A={\left(a_{i1}^{(k-1)}{a}_{j1}+a_{i2}^{(k-1)}{a}_{j2}+\cdots +a_{in}^{(k-1)}{a}_{jn}\right)}_{n\times n}\end{array}$$

另一方面：考虑$v_i$到$v_j$的长度为$k$的途径

设$v_m$是$v_i$到$v_j$的途径中点，且该点和$v_j$邻接。则$v_i$到$v_j$的经过$v_m$且长度为$k$的途径数目应该为：
$${a_{im}}^{(k-1)}{a}_{mj}$$

所以，$v_i$到$v_j$的长度为$k$的途径数目为：
$${a_{i1}}^{(k-1)}{a}_{j1}+{a_{i2}}^{(k-1)}{a}_{j2}+\cdots +{a_{in}}^{(k-1)}{a}_{jn}$$

即为$a_{ij}(k)$

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所以，$v_1$到$v_3$的途径长度为2和3的条数分别为：3和4。

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推论: (1)$A^2$的元素$a_{ii}^{(2)}$(主对角线上的元素) 是$v_i$的度数，$A^3$的元素$a_{ii}^{(3)}$ (主对角线上的元素) 是含$v_i$的三角形个数的 2 倍；（$A^3$ 根据定理知表示 $v_i$到顶点$v_j$的途径长度为 $3$ 的途径条数，$a_{ii}^{(3)}$ 则表示 $v_i$到自身$v_i$的途径长度为 $3$ 的途径条数，途径条数为 3 且经过自身，一定是三角形 ）（因为途径是可以重复顶点和边的，因此 $a_{ii}^{(2)}$ 即表示从自身出发到其他邻接的顶点然后又回来）

(2) 若$G$是连通的，对于$i\ne j$ , $v_i$和$v_j$间距离是使$A^n$的$a_{ij}^{(n)}\ne 0$的最小整数。

3、图的关联矩阵

(1) 若 $G$ 是 $(n,m)$ 图。定义$G$的关联矩阵：$M(G)=(a_{ij}{)}_{n\times m}$

其中： $\begin{array}{rl}{a}_{ij}& =l,v_i\text{与}{e}_j\text{关联的次数(0},1,\text{ 或 2(环))}\end{array}$

这里注意：矩阵的行对应顶点，列对应边

(2) 关联矩阵的性质

1. 关联矩阵的元素为0，1或2；
2. 关联矩阵的每列和为2；每行的和为对应顶点度数；（与所有关联的边的总和）

作业 P29—P30 16

四、邻接谱与图的邻接代数

(一)、邻接谱

1、图的特征多项式

定义1： 图的邻接矩阵$A(G)$的特征多项式：

$$f(G,\lambda )=\left|\lambda E-A\right|={\lambda }^n+{\alpha }_1{\lambda }^{n-1}+{\alpha }_2{\lambda }^{n-2}+\cdots +{\alpha }_{n-1}\lambda +{\alpha }_n$$

称为图$G$的特征多项式。

2、图的邻接谱

定义2： 图的邻接矩阵$A(G)$的特征多项式的特征值及其重数，称为$G$的邻接谱。

例如，我们能够容易求出完全图$K_n$的邻接谱为：$$Spec(K_n)=(\begin{array}{cc}-1& n-1\\ n-1& 1\end{array})$$

第一行表示特征值，第二行表示对应特征值的重数，$K_n$ 的邻接谱具体计算过程如下：

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先把第二列到最后一列的元素加到第一列，然后提取出$\lambda -n+1$，再通过分别将第一列所有1加到其他各列，这样，除了第一列的元素全为 1，剩下主对角线只剩下 $n-1$ 个 $\lambda +1$，利用第一行进行代数余子式来求解最终的行列式，通过代数余子式转换后，实际上最终对角线元素相乘即可

$E$ 是主对角线为 1 的单位矩阵

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定义2 若两个非同构的$n$阶图具有相同的谱，则称它们是同谱图。

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定理1 设单图$A(G)$的谱为：$\mathrm{Spec}(G)=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& {\lambda }_2& \cdots & {\lambda }_s\\ m_1& m_2& \cdots & m_s\end{array}\right)$，则：
$$\sum _{i=1}^s{m}_i{\lambda }_i^2=2m(G)$$

所有的特征值的平方和，实际上就等于原矩阵平方的对角元素之和

注： 定理1 给出了单图$A(G)$的谱与图的边数之间的关系。提示我们，通过研究邻接矩阵可以获取图的结构信息!也就是可以借助于矩阵理论方法研究图结构!实现图论的代数研究。

说明： ${\sum }_{i=1}^S{m}_i{{\lambda }_i}^2={\sum }_{i=1}^n{a_{ii}}^{(2)}$

线性代数中有一个结论： 如果 $\lambda$ 是方阵 $A$ 的一个特征值，那么 ${\lambda }^2$ 就是方阵 $A^2$ 的一个特征值，${\sum }_{i=1}^s{m}_i{\lambda }_i^2$ 就表示方阵 $A^2$ 的所有特征值之和，也就等于方阵 $A^2$ 的主对角线元素的积，即 ${\sum }_{i=1}^n{a_{ii}}^{(2)}$

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(二)、图的邻接代数

1、图的邻接代数的定义

定义3：设$A$是无环图$G$的邻接矩阵，称：

$$\Lambda \left(G\right)=\left\{a_{0}E+a_{1}A+\cdots +a_k{A}^k|a_i\in C,k\in Z^{+}\right\}$$

对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法来说作成数域$C$上的向量空间，称该空间为图$G$的邻接代数。

注： 向量空间的定义可简单地记为“非空”、“两闭”、“八条”

2、图的邻接代数的维数特征（不懂）

定理1： $G$为$n$阶连通无环图，则：

$$d\left(G\right)+1\le \dim \Lambda \left(G\right)\le n$$

证明： 由哈密尔顿—凯莱定理(见北大数学力学系《高等代数》)：
$$\begin{array}{rl}f\left(A\right)& =a_{0}E+a_{1}A+a_2{A}^2+\cdots +a_n{A}^n=0\end{array}$$

所以：$\dim \Lambda (G)\le n$

下面证明：$\mathbf{E},\mathbf{A},{\mathbf{A}}^2,...,{\mathbf{A}}^{d(G)}$ 线性无关！

若不然，则存在不全为零的数 ${\mathbf{a}}_0,{\mathbf{a}}_1,...,{\mathbf{a}}_{{\mathbf{d}}_{(G)}},$使：
$$a_{0}E+a_{1}A+a_2{A}^2+\cdots +a_{d(G)}{A}^{d(G)}=0$$
设 a${}_{\mathrm{m}-1}\ne 0$ ,但当 $\mathrm{k}\ge \mathrm{m}$ 时，有 $a_{\mathrm{k}}=0.$ 于是有：
$$a_{0}E+a_{1}A+a_2{A}^2+\cdots +a_{m-1}{A}^{m-1}=0,(a_{m-1}\ne 0)$$
假定：${\mathbf{v}}_1{\mathbf{v}}_2...{\mathbf{v}}_{\mathbf{d}(\mathbf{G})+1}$是$G$中一条最短的$({\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_{\mathbf{d}(\mathbf{G})+1})$路， 易知：d$(G)<n.$

于是，$\mathrm{d}({\mathrm{v}}_1,{\mathrm{v}}_{\mathrm{m}})=\mathrm{m}-1,(\mathrm{m}=1,2,...,\mathrm{d}(\mathrm{G})+1)$

注意到：$A^k$ 的元素${\mathfrak{a}}_{1m}^{(k)}$在 $k<m-1$ 时为零， 而 ${{\mathbf{a}}_{1m}}^{(\mathrm{m}-1)}>0.$

所以，$a_{0}E+a_{1}A+a_2{A}^2+\cdots +a_{m-1}{A}^{m-1}$ 的一行 $m$ 列元为 ${{\mathrm{a}}_{\mathrm{m}-1}{\mathrm{a}}_{1m}}^{(\mathrm{m}-1)}\ne 0$ , 这样有：

$$a_{0}E+a_{1}A+a_2{A}^2+\cdots +a_{m-1}{A}^{m-1}\ne 0$$

产生矛盾！

定理结果分析：不等式右端的界是紧的！

因为：对于n点路来说，其直径d (G) = n-1, 所以，此时该路的邻接代数的维数正好为n。

这就是说，如果G为n点路，那么： $\dim \Lambda (G)=n$
并且：$\dim \Lambda (G)=d\left(G\right)+1$

(三)、图空间简介

定理2： 集合：
M={G1,G2,⋯ ,GN∣Gi为单图G的生成子图, N=2m}M=\left\{G_1,G_2,\cdots,G_N\left|G_i\text{为单图}G\text{的生成子图, } N=2^m\right\}\right. M={G1​,G2​,⋯,GN​∣Gi​为单图G的生成子图, N=2m}

对于图的对称差运算和数乘运算：
$$\begin{array}{r}0\bullet G_i=\Phi ,1\bullet G_i=G_i\end{array}$$
来说作成数域 F={0,1}F = \{ 0, 1 \}F={0,1} 上的$m$维向量空间。

证明: (1) 证明M是F上的向量空间，只需要验证“两闭”与“八条”即可。
(2) M的维数为m

令E(G)={e1,e2,⋯ ,em}E(G)=\left\{e_1,e_2,\cdots,e_m\right\}E(G)={e1​,e2​,⋯,em​}

又令：$\begin{array}{rl}{g}_i& =G[e_i],(1\le i\le m)\end{array}$

可以证明：$g_1,g_2,\dots ,g_m$为$M$的一组基！

事实上：对$\forall G_i\in M$

若E(Gi)={ei1,ei2,...,eik}\mathrm{E\left(G_i\right)=\{e_{i1},e_{i2},...,e_{ik}\}}E(Gi​)={ei1​,ei2​,...,eik​},则： $G_i=g_{i1}\Delta g_{i2}\Delta \cdots \Delta g_{ik}$

另一方面：若$c_1{g}_1\Delta c_2{g}_2\Delta \cdots \Delta c_m{g}_m=\Phi$

则：$c_1=c_2=...=c_m=0$

所以：$\dim (M)=m$

五、极图理论简介

(一)、$l$ 部图的概念与特征

定义1 若简单图$G$的点集$V$有一个划分：
$$\begin{array}{rl}V& =\bigcup _{i=1}^l{V}_i,V_i\cap V_j=\Phi ,i\ne j\end{array}$$

且所有的$V_i$非空，$V_i$内的点均不邻接，称$G$是一个 $l$ 部图。（当 $l$ = 2 时，为偶图，即 $l$ 部图是偶图的扩展）

定义2 如果在一个 $l$ 部图$G$中，任意部$V_i$中的每个顶点同$G$中其它各部中的每个顶点均邻接，称$G$为完全 $l$ 部图。记作： （$l$ = 2 时，为完全偶图）
$$G_1=K_{n_1,n_2,\cdots ,n_l},(n_i=\left|V_i\right|,1\le i\le l)$$

显然：
$$\begin{array}{rlr}\left|V\right|& =\sum _i^l{n}_i,& m\left(G\right)=\sum _{1\le i<j\le l}{n}_i{n}_j\end{array}$$

定义3 如果在一个 $n$ 个点的完全 $l$ 部图 $G$ 中有：
$$\begin{array}{rl}& n=kl+r,0\le r<l\\ & |V_1|=|V_2|=\cdots =|V_r|=k+1\\ & |V_{r+1}|=|V_{r+2}|=\cdots =|V_l|=k\end{array}$$

则称 $G$ 为 $n$ 阶完全 $l$ 几乎等部图，记为 $T_{l,n}$

$|V_1|=|V_2|=...=|V_l|$ 的完全 $l$ 几乎等部图称为完全 $l$ 等部图。

定理1： 连通偶图的 $2$ 部划分是唯一的。

定理2： $n$阶完全偶图 $K_{n1,n2}$ 的边数 $m=n_1{n}_2$, 且有：
$$m\le \lfloor \frac{n^2}{4}\rfloor$$

$(n-n_2)n_2$ 进行配平方得到 $\frac{n^2}{4}-(\frac{n}{2}-n_2{)}^2$ 实际上就是将 $n$ 阶完全偶图划分为 $K_{n/2,n/2}$，此时的边数最大

定理3 $n$ 阶 $l$ 部图 $G$ 有最多边数的充要条件是 $G\cong T_{l,n}$。

$m(G)\le m(K_{n_1,n_2,\cdots ,n_l})$ 表示图 $G$ 的边数一定小于等于其完全 $l$ 等部图的边数

• $n_i,n_j$ 表示 $l$ 部图中，不同部的顶点数
• 其中， $f\left(n_1,n_2,\cdots ,n_l\right)={\sum }_{i<j}{n}_i{n}_j$ 表示 $n_i,n_j$ 这两个不同部组成的总边数。${\sum }_{i=1}^l{n}_i=n$ 显然。要使得边数达到最大，则需要满足 $\left|n_i-n_j\right|\le 1$，即构成一个完全 $l$ 几乎等部图。

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(二)、托兰定理

定义4 设$G$和$H$是两个$n$阶图，称$G$度弱于$H$，如果存在双射 $\mu ：V(G)\to V(H)$,使得：（这里的 $K_{l+1}$ 是一个完全图）

$$\forall v\in V(G),\text{有: }{d}_G(v)\le d_H\left(\mu (v)\right)$$

注意：
（1）若$G$度弱于$H$，一定有：$m(G)\le m(H)$ 但逆不成立！例如：度序列 (1,1,4,2) 与 (3,3,3,3) 没有度弱关系，但是根据握手定理，任然满足 $m(G)\le m(H)$
（2）两个图不一定存在度弱关系，如度序列 (1, 2, 2, 7) 与 (3, 1, 4, 6) 就不存在度弱关系

定理4 若$n$阶简单图$G$不包含$K_{l+1}$，则$G$度弱于某个完全 $l$ 部图 $H$，且若$G$具有与 $H$ 相同的度序列，则：（不作证明）

$$\begin{array}{ccc}G& \cong & H\end{array}$$

定理5（Turán） 若 $G$ 是简单图，并且不包含 $K_{l+1}$（即 $G$ 的子图中，不包含 $K_{l+1}$ 这个完全图）,则：

$$m\left(G\right)\le m\left(T_{l,n}\right)$$

仅当 $G\cong T_{l,n}$ 时，有 $m\left(G\right)=m\left(T_{l,n}\right)$

即 若 $G$ 不包含 $K_{l+1}$，即 $m\left(T_{l,n}\right)$ 为 $G$ 的边数最多的图

托兰定理指出：不含 $K_{l+1}$ 的极值图是完全 $I$ 几乎等部图。托兰定理开启了极值图论研究的先河!特别是他的朋友，伟大数学家厄多斯是这个领域的杰出人物。

(三)、托兰定理的应用