本学习笔记主要是为了拓展工程实践可能会应用到的相关知识，帮助了解和查阅知识体系、相关概念和基本思想，非以数学专业方向为主，因此不会探讨进一步的数学问题，甚至文中涉及到的部分知识也无需完全掌握，用抽象而严谨的数学语言表达的内容我会尽可能用自然语言（文中斜体字）或绘图辅助理解
前置课程：微积分（高等数学/数学分析）
自学教材：《复变函数论（第五版）》钟玉泉 编
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引言

复变函数论研究自变量为复数的函数，复变函数有时能比实变函数更能反映和描述自然现象和物理规律，为解决问题提供新思想的模型，在物理学、工程学、计算机科学等方面有广泛应用。

复数与复变函数

§1 复数

1.复数域

形如$z=x+iy$的数称为复数
$i$满足$i^2=-1$，称为虚数单位
实数$x$和$y$分别称为复数$z$的实部和虚部，记为$x=Rez,y=Imz$

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虚部不为零的复数称为虚数
实部为零且虚部不为零的复数称为纯虚数
复数$x+iy$和$x-iy$称为互为共轭复数，复数$z$的共轭复数记为$\bar{z}$，于是$x-iy=\overline{x+iy}$

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复数的加（减）法按实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）
$z_1\pm z_2=(x_1\pm x_2)+i(y_1\pm y_2)$
加法遵守交换律与结合律
复数的乘法按多项式乘法法则，将结果中的$i^2$换成$-1$
$z_1{z}_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+i(x_1{y}_2+y_1{x}_2)$
乘法遵守交换律与结合律和乘法对于加法的分配律
复数的除法先写成分式的形式，然后分子分母同乘分母的共轭复数，再进行简化，即
$\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2}+i\frac{y_1{x}_2+x_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2}(z_2\ne 0)$
引进上述运算后的全体复数称为复数域

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2.复平面

$(x,y)$称为复数$z=x+iy$的实数对形式
可以借助于坐标为$(x,y)$的点来表示复数$z=x+yi$
$x$轴称为实轴，$y$轴称为虚轴，表示复数$z$的平面称为复平面或$z$平面

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3.复数的模与辐角

模与辐角
用向量$\overrightarrow{Oz}$表示复数$z=x+iy$，向量的长度称为复数$z$的模或绝对值，以符号$\left|z\right|$或$r$表示，因而有$r=\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}⩾0$
实轴正向到非零复数的向量$\overrightarrow{Oz}$间的夹角$\theta$满足$\tan \theta =\frac{y}{x}$，称为复数$z$的辐角，记为$\theta =Argz$
任一非零复数$z$有无穷多个辐角，以$argz$表示其中一个特定值，且满足$-\pi <argz\le \pi$的一个为$Argz$的主值或$z$的主辐角

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复数的表达形式
从直角坐标与极坐标的关系，可以用复数的模$r$与辐角$\theta$表示非零复数$z$，即
$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$
称为非零复数$z$的三角形式
当$r=1$，称$z$为单位复数
由欧拉公式$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$可以把三角形式改写成$z=r{e}^{i\theta }$或$z=|z|e^{iargz}$，称为非零复数$z$的指数形式
称$z=x+iy$为复数$z$的代数形式
三种表示法可以互相转换，各有其便

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指数形式乘除法及其几何意义
复数的指数形式适用于乘除法

由
$z_1{z}_2=r_1{r}_2{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$ ①
$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}{e}^{i({\theta }_1-{\theta }_2)}$
得
$|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|,|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}(z_2\ne 0)$
$Arg(z_1{z}_2)=Arg{z}_1+Arg{z}_2,Arg(\frac{z_1}{z_2})=Arg{z}_1-Arg{z}_2$

式①说明，$z_1{z}_2$所对应的向量是把$z_1$所对应的向量的长度伸缩$r_2$倍，然后再逆时针旋转$\theta$得到的
特别地，$iz$相当于将$z$所对应的向量沿逆时针方向旋转$\frac{\pi }{2}$，这里$i$称为旋转乘数

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4.复数的乘幂与方根

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复数的乘幂
设$z=r{e}^{i\theta }$ ，则$z^n=r^n{e}^{in\theta }=r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta )$
从而有$|z^n|=|z{|}^n,Arg{z}^n=nArgz$
当$r=1$，得棣莫弗（De Moivre）公式$$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=(\cos n\theta +i\sin n\theta )$$

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复数的方根
求非零复数$z$的$n$次方根，相当于解方程$${\varpi }^n=z(n\ge 2,n\in Z)$$

设$z=r{e}^{i\theta }$, $\varpi =\rho e^{i\phi }$
则${\rho }^n{e}^{in\phi }=r{e}^{i\theta }$
解出$\rho =\sqrt[n]{r},\phi =\frac{\theta +2k\pi }{n}$
从而有$|\sqrt[n]{z}|=\sqrt[n]{|z|},Arg\sqrt[n]{z}=\frac{Argz}{n}$

因此$z$的$n$次方根为$${\varpi }_k=(\sqrt[n]{z}{)}_k=\sqrt[n]{r}{e}^{i\frac{\theta +2k\pi }{n}}$$
$k$取$0,1,2,\dots ,n-1$即可得出$n$个根
其中$e^{i\frac{2k\pi }{n}}$为$1$的$n$个$n$次方根，记为$1,\omega ,{\omega }^2,\dots ,{\omega }^{n-1}(\omega =e^{i\frac{2\pi }{n}})$
从而非零复数$z$的$n$个$n$次方根为${\varpi }_0,\omega {\varpi }_0,{\omega }^2{\varpi }_0,\dots ,{\omega }^{n-1}{\varpi }_0$

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5.共轭复数

共轭复数一些性质如下：
$(1)\overline{(\bar{z})}=z,\overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
$(2)\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}\overline{z_2},\overline{(\frac{z_1}{z_2})}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}(z_2\ne 0)$
$(3)|z{|}^2=z\bar{z},Rez=\frac{z+\bar{z}}{2},Imz=\frac{z-\bar{z}}{2i}$
$(4)$设$R(a,b,c,\dots )$表示对于复数$a,b,c,\dots$的任一有理运算，则$$\overline{R(a,b,c,\dots )}=R(\bar{a},\bar{b},\bar{c},\dots )$$

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6.复数在几何上的应用

核心思想：从向量的角度运用复数

举例：
1.过$z_1$及$z_2$两点的直线的参数方程：$$z=z_1+t(z_2-z_1)$$
2.以$z_0$为圆心，$R$为半径的圆周的方程：$$|z-z_0|=R$$
3.直线$z_1{z}_2$与直线$z_1{z}_3$的夹角：$$\alpha =arg\frac{z_2-z_1}{z_3-z_1}$$

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§2 复平面上的点集

1.平面点集的几个基本概念

由不等式$|z-z_0|<\rho$所确定的平面点集，称为点$z_0$的$\rho$邻域，记为$N_{\rho }(z_0)$
$0<|z-z_0|<\rho$为点$z_0$的去心$\rho$邻域，记为$N_{\rho }(z_0)$ \ { z 0 } \{z_0\} {z0​}

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点与集的分类
对点集$E$，若平面上一点$z_0$（不必属于$E$）的任意邻域都有$E$的无穷多个点，则称$z_0$为$E$的聚点或极限点
若$z_0$属于$E$，但非$E$的聚点，则称$z_0$为$E$的孤立点
若$z_0$不属于$E$，又非$E$的聚点，则称$z_0$为$E$的外点
点$E$的全部聚点所成集用$E^{\prime }$表示
若$E^{\prime }\subseteq E$，则称$E$为闭集
若点集$E$的点$z_0$有一邻域全含于$E$内，则称$z_0$为$E$的内点
若点集$E$的点皆为内点，则称$E$为开集
若在点$z_0$的任意邻域内，同时有属于点集$E$和不属于$E$的点，则称$z_0$为$E$的边界点
点集$E$的全部边界点所组成的点集称为$E$的边界，记成$\partial E$
点集$E$的孤立点必是$E$的边界点
若点集$E$全含于一圆之内，则称$E$为有界集，否则称$E$为无界集

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2.区域与若尔当（Jordan）曲线

区域和闭域
具备下列性质的非空点集$D$称为区域：
$(1)D$为开集
$(2)D$中任意两点可用全在D中的折线连接（即$D$的图形为一个整体）
区域$D$加上它的边界$C$称为闭域，记为$\bar{D}=D+C$

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连续曲线
设$x(t)$及$y(t)$是实变数$t$的两个实函数，它们在闭区间$[\alpha ,\beta ]$上连续，则由复数方程$z=x(t)+iy(t)(\alpha \le t\le \beta )$所决定的点集$C$，称为平面上的一条连续曲线，该复数方程称为$C$的参数方程，$z(\alpha )$和$z(\beta )$分别称为$C$的起点和终点
对满足$\alpha <t_1<\beta ,\alpha \le t_2\le \beta ,t_1\ne t_2$的$t_1$及$t_2$，当$z(t_1)=z(t_2)$成立时，点$z(t_1)$称为此曲线$C$的重点（即曲线除了首尾相接的情况外有交点）
凡无重点的连续曲线，称为简单曲线或若尔当曲线
$z(\alpha )=z(\beta )$的简单曲线称为简单闭曲线

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可求长
设连续弧$AB$的参数方程为$z=z(t)(\alpha \le t\le \beta )$，任取实数列 { t n } ： α = t 0 < t 1 < t 2 < … < t n − 1 < t n = β \{t_n\}：\alpha=t_0<t_1<t_2<…<t_{n-1}<t_n=\beta {tn​}：α=t0​<t1​<t2​<…<tn−1​<tn​=β，并且考虑$AB$弧上对应的点列：$z_j=z(t_j)(j=0,1,2,\dots ,n)$，将它们用一折线$Q_n$连接起来，$Q_n$的长度$I_n=\sum _{j=1}^n|z(t_j)-z(t_{j-1})|$，如果对于所有的数列 { t n } \{t_n\} {tn​}，$I_n$有上界，则$AB$弧称为可求长的，上确界$L=sup{I}_n$称为$AB$弧的长度（类比割圆法求圆的周长）

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光滑曲线
设简单（或简单闭）曲线$C$的参数方程为$z=x(t)+iy(t)(\alpha \le t\le \beta )$，又在$\alpha \le t\le \beta$上，$x^{\prime }(t)$及$y^{\prime }(t)$存在、连续且不全为零，则$C$称为光滑（闭）曲线
光滑（闭）曲线$C$具有连续转动的切线（斜率不会突变）
由有限条光滑曲线衔接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线
特别，简单折线是逐段光滑曲线
逐段光滑曲线是可求长曲线，但简单曲线（或简单闭曲线）不一定可求长

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若尔当定理：
任一简单闭曲线$C$将$z$平面唯一地分成$C$，$I(C)$及$E(C)$三个点集，它们具有如下性质：
$(1)$彼此不交
$(2)I(C)$是一个有界区域（称为$C$的内部）
$(3)E(C)$是一个无界区域（称为$C$的外部）
$(4)$若简单折线$P$的一个端点属于$I(C)$，另一个端点属于$E(C)$，则$P$必与$C$有交点

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曲线的方向
沿着一条简单闭曲线$C$逆时针方向为正方向，顺时针方向为负方向

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区域的分类
设$D$为复平面上区域，若在$D$内无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于$D$，则称$D$为单连通区域，否则为多连通区域
所含不止一个点的闭集$E$，如果不能划分为两个无公共点的非空闭集，则称$E$为连续点集（形状为一整块的闭集）
空集与所含只有一个点的集，称为退化连续点集
若区域$D$的边界为一个连续点集（包括退化情形），则称$D$为单连通区域
若区域$D$的边界是互不相交的两个、三个……$n$个连续点集，则分别称$D$为二连通、三连通……$n$连通的区域

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§3 复变函数

1.复变函数的概念

复变函数
设$E$为一复数集，若对$E$内每一复数$z$，有唯一确定的复数$\varpi$与之对应，则称在$E$上确定了一个单值函数$\varpi =f(z)(z\in E)$
如对$E$内每一复数$z$，有几个或无穷多个$\varpi$与之对应，则称在$E$上确定了一个多值函数$\varpi =f(z)(z\in E)$
$E$称为函数$\varpi =f(z)$的定义域
对于$E$，$\varpi$值的全体所成集$M$称为函数$\varpi =f(z)$的值域

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复变函数的理解
设$\varpi =f(z)$是定义于点集$E$上的单值或多值函数，并令$z=x+iy,\varpi =u+iv$
则$u,v$皆随$x,y$而确定，因而$\varpi =f(z)$又写成$\varpi =u(x,y)+iv(x,y)$
其中$u(x,y)$及$v(x,y)$是二元实变函数
如将$z$表示为指数形式$z=r{e}^{i\theta }$，函数$\varpi =f(z)$又可表示为$\varpi =P(r,\theta )+iQ(r,\theta )$
可见复函数$\varpi =f(z)$等价于两个相应的二元实函数$u=\phi (x,y),v=\psi (x,y)$

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对应/映射/变换
由$f(x+iy)=u+iv$，描出$f(z)$的图形必须采用$(u,v,x,y)$空间
为简化，采用两张复平面$z$平面和$\varpi$平面，把复变函数理解为两个复平面上的点集间的对应（映射或变换），即复变函数$\varpi =f(z)$给出了从$z$平面上的点集$E$到$\varpi$平面上的点集$F$间的一个对应关系
与点$z\in E$对应的点$\varpi =f(z)$称为点$z$的像点，同时点$z$就称为点$\varpi =f(z)$的原像

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变换的分类
如对$z$平面上点集$E$的任一点$z$，有$\varpi$平面上点集$F$的点$\varpi$，使得$\varpi =f(z)$，则称$\varpi =f(z)$是$E$到$F$的入变换（记为$f(E)\subseteq F$）
如果$f(E)\subseteq F$，且对$F$的任一点$\varpi$，有$E$的点$z$，使得$\varpi =f(z)$，则称$\varpi =f(z)$是$E$到$F$的满变换（记为$f(E)=F$）
若$\varpi =f(z)$是点集$E$到$F$的满变换，且对$F$中的每一点$\varpi$，在$E$中至少有一个点与之相对应，则在$F$上确定了一个单值（或多值）函数，记作$z=f^{-1}(\varpi )$，它就称为函数$\varpi =f(z)$的反函数或称为变换$\varpi =f(z)$的逆变换
若$z=f^{-1}(\varpi )$也是$F$到$E$的单值变换，则称$\varpi =f(z)$是$E$到$F$的双方单值变换或一一变换

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2.复变函数的极限与连续性

极限
设函数$\varpi =f(z)$于点集$E$上有定义，$z_0$为$E$的聚点，如存在一复数${\varpi }_0$，使对任给的$\epsilon >0$，有$\delta >0$，只要$0<|z-z_0|<\delta$，$z\in E$，就有$|f(z)-{\varpi }_0|<\epsilon$，则称函数$f(z)$沿$E$于$z_0$有极限${\varpi }_0$，并记为${\lim }_{z\to z_0}f(z)={\varpi }_0$

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极限的充要条件
设函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$于点集$E$上有定义，$z_0=x_0+i{y}_0$为$E$的聚点，则${\lim }_{z\to z_0}f(z)=\eta =a+ib$的充要条件是${\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}u(x,y)=a,{\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}v(x,y)=b$

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连续
设函数$\varpi =f(z)$于点集$E$上有定义，$z_0$为$E$的聚点，且$z_0\in E$，若${\lim }_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)$，则称$f(z)$沿$E$于$z_0$连续
设函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$于点集$E$上有定义，$z_0\in E$，则$f(z)$沿$E$于$z_0$连续的充要条件是：二元实变函数$u(x,y)$，$v(x,y)$沿$E$于$(x_0,y_0)$连续
如函数$f(z)$在点集$E$上各点均连续，则称$f(z)$在$E$上连续

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波尔查诺-威尔斯特拉斯定理：每一个有界无穷点集，至少有一个聚点
闭集套定理：设无穷闭集列 { F n ˉ } \{\bar{F_n}\} {Fn​ˉ​}，至少有一个为有界且$\overline{F_n}\supset \overline{F_{n+1}}$，${\lim }_{n\to \infty }d(\overline{F_n})=0$（$d(\overline{F_n})$是$\overline{F_n}$的直径），则必有唯一的一点$z_0\in \overline{F_n}(n=1,2,\dots )$
海涅-博雷尔覆盖定理：设有界闭集$E$的每一点$z$都是圆$K_z$的圆心，则这些圆 { K z } \{K_z\} {Kz​}中必有有限个圆把$E$盖住
（类比一元数集相关定理）

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在有界闭集$E$上连续的函数$f(z)$，具有下列三个性质：
$(1)$在$E$上$f(z)$有界
$(2)|f(z)|$在$E$上有最大值与最小值
$(3)f(z)$在$E$上一致连续

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§4 复球面与无穷远点

1.复球面

复球面
取一个在原点$O$与$z$平面相切的球面，通过点$O$作一垂直于$z$平面的直线与球面交于点$N$，$N$称为北极点，$O$称为南极点
现用直线段将$N$与$z$平面上一点$z$相连，此线段交球面于一点$P(z)$，这样就建立起球面上的点（不包括北极点$N$）与复平面上的点间的一一对应

无穷远点
考虑$z$平面上一个以原点为圆心的圆周$C$，在球面上对应的也是一个圆周$\Gamma$，当圆周$C$的半径越大时，圆周$\Gamma$就越趋于北极点$N$
因此，北极点$N$可以看成是与$z$平面上的一个模为无穷大的假想点相对应，这个假想点称为无穷远点，并记为$\infty$
复平面加上点$\infty$后称为扩充复平面，记作 C ∞ = C + { ∞ } C_∞=C+\{∞\} C∞​=C+{∞}​，与它对应的就是整个球面，称为复球面

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2.扩充复平面上的几个概念

$(1)$扩充复平面上，$\infty$的$\epsilon$邻域$N_{\epsilon }(\infty )$是指满足条件$|z|>\frac{1}{\epsilon }$的点集，对应复球面上以北极点$N$为心的一个球盖，去心邻域则去掉北极点$N$；复平面以$\infty$为其唯一的边界点；扩充复平面以$\infty$为内点，且是唯一的无边界的区域
$(2)$单连通区域推广到扩充复平面上的区域与复平面相同
$(3)$在扩充复平面上，在关系式${\lim }_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)$中，如果$z_0$及$f(z_0)$之一或同时取$\infty$，就称$f(z)$在点$z_0$是广义连续的，极限就称为广义极限

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本章完