复杂动态网络系统的数学模型

同步现象是复杂动态网络最重要的集体行为。网络同步性能的分析和同步控制
是复杂网络研究的两个重要方面。
如何建立数学模型解释自然界中的同步现象,
如何设计同步机制并应用于实际问题都是本领域具有重要意义的研究课题。

Kuramoto模型是描述复杂动态网络系统一种重要的数学模型,在物理学、
生物学以及控制理论与工程应用中具有广泛的应用。Kuramoto模型作为
一类耦合振子模型,可以有效地近似描述节点状态存在耦合关系的非线性
网络系统的动力学特性。

早期针对Kuramoto模型的大部分研究工作仅考虑了网络中振子全局耦合的情况,
而实际网络的振子耦合关系更加复杂并且会受到突发干扰和变动等各种因素的影响,
使得振子不能满足全局耦合的条件,进而导致同步动态的恶化。针对这类问题,
近年来研究人员通过引入分层的分布式控制方法驱动局部耦合的Kuramoto模型
达到同步,得到了良好的同步动态效果,但是目前多数的研究成果仅能够获得渐近同步
、指数同步以及有限时间同步的结果。

频率同步现象在自然界中是普遍存在的,.当振子各自的频率通过耦合作用收敛到
同一个值时,我们就可以观察到这种现象。Kuramoto模型是研究振子同步现象
的著名模型,很多同步现象的研究都是在Kuramoro模型的基础上进行的。

复杂网络(Complexnetwork)具有自组织、自相似、吸引子、小世界性以及无标度的
某些或全部特征,能够用来描述自然科学、社会科学以及工程科学等众多领域间相关的模型。
复杂网络是21世纪受关注较大的交叉学科,它以统计物理学、计算机软件、数学等
学科为研究工具,以复杂系统作为研究对象,已经成为描述和了解复杂系统的重要研究工具之一。

近年来,人们已经得到许多有关复杂网络的理论结果和实际应用。同步问题一直是研究
复杂网络的一个重要课题。最近的十几年,人们都在研究有关同步及其相关问题,其研究
范围包括物理学、化学、生物学、社会学等多个学科。人们在研究Kuramoto相振子
同步动力学行为时发现了奇异态。奇异态与神经系统密切相关,研究奇异态对解决医学上
的难题有很大帮助。因此研究复杂网络的同步及奇异态相关问题对解释现实现象或者
解决实际问题都具有极其重要的意义。