某企业生产某种畅销的电子产品，需要分别购买两种零配件(零配件1和零配件 2)，在企业将两个零配件装配成成品。在装配的成品中，只要其中一个零配件不合格，则成品一定不合格;如果两个零配件均合格，装配出的成品也不一定合格。对于不合格成品，企业可以选择报废，或者对其进行拆解，拆解过程不会对零配件造成损坏，但需要花费拆解费用。请建立数学模型，解决以下问题:

问题1 供应商声称一批零配件(零配件1或零配件 2)的次品率不会超过某个标称值。企业准备采用抽样检测方法决定是否接收从供应商购买的这批零配件,检测费用由企业自行承担。请为企业设计检测次数尽可能少的抽样检测方案。

如果标称值为10%,根据你们的抽样检测方案,针对以下两种情形,分别给出具体结果:

(1)在 95%的信度下认定零配件次品率超过标称值，则拒收这批零配件:

(2)在 90%的信度下认定零配件次品率不超过标称值，则接收这批零配件。

问题1

1. 问题背景

企业从供应商处采购零配件，供应商声称零配件的次品率不会超过某个标称值（如10%）。企业需通过抽样检测决定是否接收这批零配件。目标是在尽量减少抽样检测次数的前提下，做出以下决策：

• 以95%的信度认定次品率超过标称值则拒收该批零配件；
• 以90%的信度认定次品率不超过标称值则接收该批零配件。

1. 问题分析

这是一个典型的基于抽样的假设检验问题。我们可以将次品率问题转化为统计假设检验，其中：

• 零假设：零配件次品率（零配件合格率满足供应商声称的次品率上限）。
• 备择假设：零配件次品率（零配件次品率超过供应商声称的次品率上限）。

接下来，基于抽样的检测数据，我们可以计算统计量并进行检验，以此判断是否接受或拒绝零假设。

1. 解决目标
2. 设计一个最优的抽样检测方案，使得检测次数尽可能少。
3. 根据两种不同的置信度（95%和90%）进行决策：

• 95%信度下认定次品率超过10%则拒收；
• 90%信度下认定次品率不超过10%则接收。

1. 解决方案

4.1 抽样检测设计

抽样检测可以基于二项分布，因为每个零配件在检测时都是独立的，其结果只有“合格”或“不合格”两种。假设检测的样本量为n，次品率为p，每个样品的结果服从二项分布：

其中，是次品数量，n是检测的样本数量，p是零件的真实次品率。我们可以使用正态近似来简化计算，即：

是样本中的次品率。

4.2 假设检验方案

我们进行假设检验，采用统计方法检测次品率是否超过标称值。

1. 设置假设： ：次品率;：次品率。
2. 检验统计量： 使用标准化的检验统计量Z： 其中，是样本中检测到的次品率，是标称次品率，n是抽样样本数。
3. 拒绝域的确定：

• 对于95%的置信度水平，检验的拒绝域可以通过查标准正态分布表得出，当Z>1.645时，拒绝。
• 对于90%的信度水平，接受域为Z<1.28，则接受。

1. 确定样本量

为了确定检测的样本量n，我们使用下面的公式：

其中，Z是根据置信水平确定的Z值（对于95%置信度，Z=1.645；对于90%置信度，Z=1.28）；E 是误差的大小，设定为可以接受的次品率误差。

问题2 已知两种零配件和成品次品率，请为企业生产过程的各个阶段作出决策:

(1)对零配件(零配件1和/或零配件 2)是否进行检测，如果对某种零配件不检测，这种零配件将直接进入到装配环节;否则将检测出的不合格零配件丢弃;

(2)对装配好的每一件成品是否进行检测,如果不检测,装配后的成品直接进入到市场:否则只有检测合格的成品进入到市场;

(3)对检测出的不合格成品是否进行拆解，如果不拆解，直接将不合格成品丢弃:否则对拆解后的零配件，重复步骤(1)和步骤(2);

(4)对用户购买的不合格品，企业将无条件予以调换，并产生一定的调换损失(如物流成本、企业信誉等)。对退回的不合格品，重复步骤(3)。请根据你们所做的决策，对表1中的情形给出具体的决策方案，并给出决策的依据及相应的指标结果。

1. 
   问题背景 企业在生产过程中需要决策是否对零配件、成品进行检测以及如何处理不合格的零配件和成品。在装配成品时，只要一个零配件不合格，成品就不合格；即使两个零配件都合格，成品仍有可能不合格。企业可以选择对不合格的成品进行拆解以回收零配件，或者直接报废。还需要考虑售后环节中用户调换不合格产品产生的损失。因此，企业需要一个优化决策模型来降低生产成本。
2. 解决目标

本问题的目标是通过决策优化，降低企业在生产和售后环节中的成本，具体目标包括：

1. 判断是否对零配件进行检测，以最小化检测成本与次品流入装配环节的风险；
2. 判断是否对装配好的成品进行检测，以减少不合格成品进入市场的概率；
3. 对检测出的不合格成品，决定是否拆解，以降低报废成本和潜在的调换损失；
4. 在售后环节中，考虑调换不合格产品带来的损失，优化决策。

3. 解决方案

为了实现以上目标，我们可以通过建立一个基于成本和概率的数学模型，对生产中的各个阶段进行优化。接下来逐步讨论各阶段的决策方案。

3.1 零配件的检测决策

企业在购买零配件时，需要决定是否对零配件进行检测。若进行检测，可以剔除不合格零配件，减少次品流入装配环节的概率，但会产生额外的检测成本；若不进行检测，则次品直接进入装配环节，影响成品质量。

假设：

• 和 为零配件1和零配件2的次品率；
• 和为检测零配件1和零配件2的检测成本；
• 为每个不合格成品的后续处理（如报废、拆解）的成本。

零配件是否检测的决策可以通过比较检测成本与不检测导致的次品进入装配环节的成本来做出：

若检测，则零配件次品会被剔除，检测成本为：

其中n为采购的零配件数量。

若不检测，次品直接进入装配环节，导致不合格成品的产生，成本为：

决策标准：

• 如果，则进行检测；
• 否则，不检测，零配件直接进入装配环节。

3.2 成品的检测决策

对装配好的成品是否进行检测，影响到不合格产品是否会直接流入市场。假设成品的次品率为，成品的检测成本为，每个不合格成品流入市场后的损失为（包括调换损失等）。成品的决策同样需要基于成本分析。

若检测，成品次品会被剔除，检测成本为：

其中m为装配成品数量。

若不检测，次品直接进入市场，导致调换损失，成本为：

决策标准：

• 如果，则对成品进行检测；
• 否则，成品不检测，直接进入市场。

3.3 不合格成品的拆解决策

当检测出不合格成品时，企业可以选择直接报废，或进行拆解以回收零配件。假设拆解费用为，回收的零配件可以重新进入生产流程。决定是否拆解取决于拆解成本与报废成本的对比。

若拆解，费用为：

其中 mmm 为不合格成品数量。

若不拆解，直接报废，损失为：

决策标准：

• 如果，则进行拆解；
• 否则，直接报废不合格成品。

3.4 售后调换成本的决策

在售后阶段，企业对用户购买的不合格产品进行调换。调换会产生物流成本及企业信誉损失等。假设调换成本为，对于退回的不合格品，可以继续选择拆解或报废。售后阶段的决策可以基于调换成本、拆解费用和报废费用进行权衡。

4. 综合模型

将以上各环节的决策综合起来，企业的目标是最小化总成本。总成本包括：

1. 采购阶段的零配件检测成本或不检测导致的装配成本；
2. 成品检测成本或不检测导致的调换损失；
3. 不合格成品的拆解或报废成本；
4. 售后调换产生的额外成本。

总成本函数可以表示为：

通过对每个阶段的成本进行最小化计算，企业可以获得各阶段的最优决策方案。

问题3 对 m 道工序、n 个零配件，已知零配件、半成品和成品的次品率，重复问题2，给出生产过程的决策方案。图1给出了2道工序、8个零配件的情况，具体数值由表2给出。针对以上这种情形，给出具体的决策方案，以及决策的依据及相应指标。

问题四

问题4 假设问题2和问题3中零配件、半成品和成品的次品率均是通过抽样检测方法(例如，你在问题1中使用的方法)得到的，请重新完成问题2和问题 3。

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