ANFIS知识

1. ANFIS概述

ANFIS: Adaptive-Network-based Fuzzy Inference Systems简称自适应模糊圣经网络。
ANFIS是一种基于模糊推理的神经网络。依据对规则的判定方式不一样，常有基于网格和基于聚类的ANFIS之分。这两种模型在网络结构也略有不同。

2、ANFIS网络结构

2.1 基于网格的ANFIS

假定模糊推理系统有$x$和$y$两个输入，一个输出$z$。对于一阶基于T-S模型的模糊神经网络模型，具有两条模糊if-then规则的普通规则如下：
$$规则1：ifxis{A}_{1}andyis{B}_{1}thenz=p_{1}x+q_{1}y+r_1\text{\hspace{1em}(4.1)}$$
$$规则2：ifxis{A}_{2}andyis{B}_{2}thenz=p_{2}x+q_{2}y+r_2\text{\hspace{1em}(4.2)}$$
所等价的ANFIS模型结构如图所示：

网络共分为5层，前3层为规则前件，后2层为规则后件。图中，方框性节点表示该节点参数是可调的，圆形节点代表该节点没有参数或参数不可以调整的。ANFIS中可调整的参数主要集中在第1层和第5层，第一层的参数为隶属函数参数，第5层为规则后件参数，即$if-then$规则的$then$部分的参数, 也就是上述规则中的p, q, r. 以下就是每一层的功能做详细介绍. 为了叙述方便约定$O_i^n(i=1,2,3,4,5)$表示第n层的第i个节点的数据. 上标表示层, 下标表示该层的第i个节点.

第一层: 模糊化. 将输入变量转化成每一个模糊集的隶属度. 在这一层的节点i是一个由节点函数(隶属函数)组成的自适应节点. 节点函数的参数规则前件参数.
$$O_i^1={\mu }_{A_i}(x),i=1,2\text{\hspace{1em}(4.3)}$$
$$O_i^1={\mu }_{B_{i-2}}(y)i=3,4\text{\hspace{1em}(4.4)}$$
其中$O_i^n$是模糊集$A=(A_1,A_2,B_1,B_2)$的隶属度,它确定了给定输入$x(或y)$满足A的程度. 隶属函数有多种形式,常用地隶属函数有高斯函数, 三角函数, 梯形函数等.
$x,y$是节点$i$的输入, $A_i$是和节点函数相关的语言标签(大小等). $O_i^1$是$A_i$的的函数,他表示x满足$A_i$的程度. 通常我们选择取值范围在0-1之间的函数,例如:
$${\mu }_{A_i}(x)=e^{-(\frac{x-c_i}{a_i}{)}^2}\text{\hspace{1em}(4.5)}$$
其中$c_i$代表高斯函数的中心, $a_i$代表高斯函数的宽度. $a_i,c_i$是需要优化的参数.

第二层: 规则适用度, 每一个节点的输出是所输入信号的积, 结果就是这一条规则的适用度. 一般来说, 本层节点函数可以是其它执行模糊"与"的T范式算子. 这样的算子有求极小, 代数积, 有界积和强积等.
KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 32: …x)\mu_{B_j}(y),&̲ensp;i=1,2;j=1,…

第三层: 归一化适用度,对第i个节点计算第i条规则的适用度与所有规则实用度纸盒的比值. 本层的输出称为归一化适用度.
$$O_i^3=\overline{w_i}=\frac{w_i}{w_1+w_2},i=1,2\text{\hspace{1em}(4.7)}$$

第四层: TSK输出层, 计算每条规则的输出. 其中$\overline{w_i}$是第三层经过标准化了的适用度.
$$O_i^4=\overline{w_i}{f}_i=\overline{w_i}(p_{i}x+q_{i}y+r_i),i=1,2\text{\hspace{1em}(4.8)}$$
其中:$\overline{w_i}$是第三层输出的归一化适用度. {p_i, q_i, r_i}叫模糊规则后件的参数集合,称为规则后件参数. 其中$x,y$是给定输入.

第五层: 求和, 对每条输出求和得到总的输出.
$$O_5=\sum \overline{w_i}{f}_i=\frac{\sum w_i{f}_i}{\sum w_i}\text{\hspace{1em}(4.9)}$$